Esta obra presenta material básico de estudio, mediante ejercicios resueltos, para un curso de econometría. Se cubren diferentes temas del contenido mínimo de tal curso, como: regresión lineal simple, regresión lineal múltiple, métodos para datos con estructura de panel y procedimientos asociados a la inferencia, especificación y estimación. El libro complementa, y en absoluto reemplaza, el ejercicio de aprendizaje del estudiante de un curso que siga textos de teoría de econometría. Al inicio de cada capítulo se hace una corta justificación de la importancia de las preguntas propuestas. El capítulo final contiene el código en Stata para generar figuras y tablas presentadas a lo largo del libro.
- Resumen
- Portadilla
- Página legal
- Autores
- Figuras
- Siglas y acronimos
- Introducción
- 1. Conceptos y manipulaciones útiles
- 1.1. Introducción y proposito de la econometría
- 1.1.1. La econometría es, probablemente, el principal metodo empírico utilizado por los economistas. Enumere y describa otros metodos empíricos usados en economía.
- 1.1.2. Ofrezca una definición, sin recurrir a manipulaciones matemáticas, del procedimiento de regresión lineal.
- 1.1.3. ¿Cuales relaciones economicas conoce y son susceptibles de estimarse mediante una regresion?
- 1.1.4. En el ejemplo de la función de producción a estimar mediante una regresión ofrecido en la pregunta anterior, que otras variables explicativas incluiría?
- 1.1.5. ¿Que datos de tipo continuo, discreto (dos o mas eventos), solo positivos, o que contabilizan un evento conoce?
- 1.1.6. Que son datos de corte transversal y de un ejemplo.
- 1.1.7. Qué son datos de series de tiempo y dé un ejemplo.
- 1.1.8. Que son datos con estructura de panel y de un ejemplo.
- 1.2. Manipulación de matrices y sumatoria
- 1.2.1. A partir de los siguientes vectores y matrices,
- 1.2.2. Muestre que para un vector
- 1.2.3. A partir de los siguientes vectores y matrices:
- 1.2.4. A partir de la matriz:
- 1.2.5. A partir de la matriz:
- 1.2.6. A partir de la matriz:
- 1.2.7. A partir de las siguientes matrices y vectores:
- 1.2.8. Muestre los pasos intermedios para llegar al resultado de las ecuaciones
- 1.2.9. Si la matriz A = x(x'x) -1x/, examine si es una matriz idempotente.
- 1.2.10. A partir de la matriz
- 1.2.11. A partir de las matrices
- 1.2.12. A partir de las matrices
- 1.3. Conceptos de estadística
- 1.3.1. Una variable aleatoria puede definirse como la información recogida de un evento. Esta recolección genera una secuencia de valores que no son iguales o están sujetos a variaciones. A partir de esta definición informal, ofrezca una lista de variables aleatorias.
- 1.3.2. ¿Que es un histograma? Explique que significa el numero de barras y su altitud en un histograma.
- 1.3.3. En terminos sencillos, el concepto estadístico de valor esperado puede definirse como el promedio ponderado del valor u observación de una variable, en donde las ponderaciones son la probabilidad de su ocurrencia. A partir de esta idea, obtenga el valor esperado de las siguientes realizaciones o eventos observados.
- 1.3.4. A partir de una variable aleatoria A, y la definición de valor esperado como: E[X] =µ, manipule la expresión de varianza para una variable aleatoria:
- 1.3.5. La ley de expectativas iteradas sugiere que:
- 2. Regresión lineal simple
- 2.1. Estimación
- 2.1.1. Obtenga los estimadores de b0 y b\ de la regresión lineal simple yt = b0 + b1xi + et a partir de minimizar el termino de error elevado al cuadrado:
- 2.1.2. Si en la ecuación del estimador del coeficiente de la constante en la RLS el coeficiente b1 es cero, ¿qué interpretación puede hacerse del coeficiente ?
- 2.2. Manipulación de resultados asociados a la RLS
- 2.2.1. Para cada uno de los siguientes modelos calcule el efecto marginal y elasticidad de y con respecto a x.
- 2.2.2. A partir de los resultados asociados a la estimación de regresión lineal simple y i = b{) + b\x, + e¡, muestre que y = y, donde y se refiere al valor predicho y y al promedio de la variable dependiente de la regresión.
- 2.2.3. Un supuesto de la regresión lineal simple es: E[e] = 0, donde e corresponde al termino de error de la ecuación de regresion. Ofrezca una explicación intuitiva de esta exigencia sobre el modelo de RLS.
- 2.2.4. Un supuesto de la regresión lineal simple es: E[e|x] = 0, donde e corresponde al termino de error y x a la variable explicativa. Ofrezca una explicación intuitiva de esta exigencia sobre el modelo de RLS.
- 2.2.5. Explique el supuesto de la regresión lineal simple Var[elx] = s2, donde e corresponde al termino de error y x a la variable explicativa.
- 2.3. Análisis empírico. Ejercicios con datos
- 2.3.1. Se sugiere la existencia de una relación entre el numero de computadores y el nivel de educación de la poblacion. En particular, se propone la hipotesis inicial de que el numero de computadores puede explicarse por el nivel de educación de la poblacion:
- 2.3.2. Se quiere establecer la relación que existe entre el salario y el nivel de educacion. Se propone la hipotesis de que a mas ados de educacion, puede existir mayor salario. Esta hipotesis se resume en la siguiente ecuacion:
- 2.3.3. Se quiere establecer la relación que existe entre el salario y el nivel de educacion. Se propone la hipotesis de que a mas aüos de educacion, puede existir mayor salario. Esta hipotesis se resume en la siguiente ecuacion:
- 3. Regresión lineal múltiple
- 3.1. Notación
- 3.1.1. Reescriba en notación de vectores y matrices la ecuación de regresión
- 3.2. Estimación
- 3.2.1. A partir del modelo clasico de RLM, expresado en notación matricial
- 3.2.2. Muestre que el estimador de MCO (obtenido en la pregunta 3.2.)
- 3.2.3. A partir del modelo clásico de RLM, expresado en notación matricial
- 3.2.4. Considere el modelo de regresión clásico:
- 3.3. Análisis empírico. Ejercicios conceptuales
- 3.3.1. Obtenga los coeficientes b0, b1 b2 utilizando la formula matricial de MCO a partir de los siguientes datos, ya expresados en matrices:
- 3.3.2. Obtenga los coeficientes b0, b\ b2 utilizando la fórmula matricial de MCO a partir de:
- 3.3.3. Obtenga los coeficientes b0, b\ b2 utilizando la fórmula matricial de MCO a partir de:
- 3.3.4. Explique brevemente en que consiste la multicolinealidad en un modelo de regresion.
- 3.3.5. Considere la siguiente función de ingresos para los trabajadores de la industria textil:
- 3.3.6. (a) Suponga que se desea estimar un modelo con datos en series de tiempo de frecuencia trimestral. Plantee un modelo de regresión lineal en el que con toda certeza se presente multicolinealidad perfecta. Explique.
- 3.3.7. Enumere cuáles son algunas de las formas de detectar la existencia de alta multicolinealidad en un modelo de regresión.
- 3.3.8. Considere la siguiente función de ingresos para los trabajadores de la industria textil:
- 3.3.9. Se quiere estimar una función de demanda de dinero con información trimestral para el período 1999:1 a 2003:4. Se propone que la función tiene como variables independientes el ingreso y, los precios de la economía p, la tasa de interes r y tres variables dicotomicas estacionales d1... d3. Suponga ademas que se trabaja con errores que violan el supuesto de no heteroscedasticidad y no autocorrelación de primer orden.
- 3.3.10. Suponga que se desea estimar por MCO la siguiente función:
- 3.3.11. Considere la siguiente función de ingresos:
- 3.4. Análisis empírico. Ejercicios con datos
- 3.4.1. Se sugiere la existencia de una relación entre el salario, numero de computadores y el nivel de educación de la poblacion. En particular, se propone la hipotesis inicial segitn la cual el salario puede explicarse por numero de computadores y el nivel de educación de la población:
- 4. Regresión con variable explicativa categórica o binaria
- 4.1. Información obtenida de una entidad estadística reporta el numero de veces que un individuo se toca la cabeza en un día. La información fue recolectada para 3 hombres y 3 mujeres. El genero de los individuos estudiados fue codificado en una variable dummy como 0 para hombres y 1 para mujeres, y se resume en la tabla:
- 4.2. Información obtenida de una entidad estadística reporta el numero de veces que 10 personas usan transporte publico (bus - taxi) en una semana. La información fue recolectada para hombres y mujeres, codificada como (0) para hombres y (1) para mujeres; adicionalmente, se recolecto la edad de las personas. Esta información se resume en la tabla a continuacion:
- 4.3. Se tienen dos modelos estadísticos de una función de producción agrícola en diferentes regiones de un país:
- 4.4. Se tiene el modelo estadístico de una función de demanda de alimentos para individuos indexados con la letra i:
- 4.5. Los siguientes son los resultados de estimar una función de salarios para los trabajadores de la industria manufacturera, en donde se quiere establecer si existe o no discriminación de genero (errores estandar en paréntesis bajo cada coeficiente):
- 4.6. Un posible error en la la utilización de variables dummy en el analisis de regresión es denominado “trampa de las variables dicotomica” en un modelo de regresion. Explique brevemente en que consiste este error.
- 4.7. A partir de un modelo estadístico para la demanda por dinero:
- 4.7. A partir de la siguiente estimación de una ecuación de salarios en función de la edad y una variable dummy:
- 4.9. La siguiente ecuación es utilizada para estimar una función de demanda por dinero para un país en particular, con información de series de tiempo:
- 4.10. Suponga que se quiere saber cómo el crecimiento de PIB afecta el crecimiento del empleo en un grupo de países. Se llevan a cabo diferentes estimaciones de la posible relación y se obtuvieron los siguientes modelos:
- 5. Inferencia
- 5.1. Utilizando el modelo clasico de regresión y mediante estimación utilizando MCO se obtuvieron los siguientes parametros correspondientes a una función de producción:
- 5.2. Partiendo del modelo de regresión
- 5.3. Suponga un modelo de regresión para la producción (q) de 32 firmas de la industria maderera (las variables corresponden a trabajo (l) (numero de empleados), valor del capital (k) (términos reales) y terreno (z) (número de hectareas), que genera los siguientes resultados de estimación (errores estandar en paréntesis y variables redefinidas en logaritmo natural):
- 5.4. Considere la ecuación de regresión:
- 5.5. Suponga que se tiene el siguiente modelo de regresion:
- 5.6. Se tiene la siguiente ecuación de regresion:
- 5.7. Suponga que se tiene la siguiente función de producción:
- 5.8. Luego de estimar un modelo de regresión lineal se obtuvierón los siguientes resultados:
- 5.9. Con la estimación de un modelo de regresión lineal mediante MCO se obtuvieron los siguientes resultados:
- 5.10. Luego de llevar a cabo la estimación de un modelo de regresión lineal mediante MCO, se obtuvieron los siguientes resultados:
- 5.11. Una empresa dedicada a la fabricación de juguetes infantiles estimo un modelo de regresión para explicar las ventas (V) de juguetes en terminos del gasto en publicidad (P) y los incentivos ofrecidos a los vendedores (IN). Con información para 18 empresas se obtuvieron los siguientes resultados:
- 6. Especificación
- 6.1 Criterios de selección
- 6.1.1. En el ejercicio de estimar variables que expliquen la demanda de un bien (q) se propone la siguiente ecuacion:
- 6.1.2. El resultado de la estimación de una regresión entre las variables Y y X1 a X4 se presenta en la columna 2 de la siguiente tabla. En el proceso de especificación se sospecha la existencia de colinealidad entre las variables explicativas, de modo que, adicionalmente, se obtuvo la estimación de regresiones entre las variables explicativas, cuyo resultado se presenta en las columnas 3-6 de la tabla. Para las estimaciones se usaron 234 observaciones y los errores estandar se presentan en paréntesis debajo de cada coeficiente.
- 6.2. Colinealidad
- 6.2.1. Partiendo de la ecuación de una regresión lineal:
- 6.2.2. Suponga que se tienen los siguientes modelos:
- 6.2.3. A partir de los siguientes modelos:
- 6.3. Heteroscedasticidad
- 6.3.1. A partir de la siguiente especificación del modelo de regresión lineal, mencione brevemente como probar la presencia de heteroscedasticidad en los errores:
- 6.3.2. Suponga la siguiente especificación del modelo lineal:
- 6.3.3. Suponga el modelo lineal:
- 6.3.4. Demuestre que el estimador , correspondiente al necesario para reducir los problemas derivados de heteroscedasticidad, satisface el problema de optimización dado por:
- 6.4. Correlación serial en el término de error
- 6.4.1. A partir del siguiente modelo:
- 6.4.2. Suponga un modelo de regresión cuyos errores presentan autocorrelación de primer orden:
- 6.4.3. Muestre que un modelo de regresión con autocorrelación de primer orden en los errores,
- 6.4.4. Suponga que se tiene la siguiente especificación de un modelo de regresión:
- 6.4.5. Suponga que se tiene un modelo con las siguientes especificaciones:
- 6.5. Ecuaciones simultaneas
- 6.5.1. Suponga un modelo de regresión tal que:
- 6.5.2. A partir del siguiente modelo:
- 7. Estimación
- 7.1. Máxima verosimilitud
- 7.1.1. Estimación de coeficientes de regresión mediante el metodo de maxima verosimilitud (MV).
- 7.1.2. El estimador de la ecuación de regresión lineal simple tiene la siguiente distribución: .
- 7.1.3. , obtenga el estimador de la media y la varianza mediante el metodo de maxima verosimilitud.
- 7.1.4. Para el caso de la regresión lineal múltiple, obtenga la expresión del estimador de los coeficientes y varianza mediante el metodo de maxima verosimilitúd.
- 7.1.5. Suponga la siguiente función de densidad para y 1yn:
- 7.1.6. Suponga que dada una función de densidad de probabilidad se obtiene el siguiente estimador de maxima verosimilitud:
- 7.1.7. A partir del modelo
- 7.2. Método de momentos
- 7.2.1. A partir de la ecuación de regresión básica que incluye solo una variable explicativa, como la usada en el capítulo 2,
- 7.2.2. Usando el metodo de momentos encuentre la media y la varianza de una variable aleatoria y.
- 7.3. Otras preguntas asociados a estimación
- 7.3.1. Explique en que consiste y cual es la importancia del teorema de Gauss-Markov.
- 7.3.2. Explique detalladamente cuales son las principales consecuencias de no estimar un modelo por MCG sabiendo que es necesario hacerlo.
- 8. Modelos de datos de panel
- 8.1. Manipulación y derivación de modelos
- 8.1.1. Desarrolle la transformación de datos correspondiente al modelo llamado efectos fijos en datos de panel.
- 8.1.2. Suponga que se tiene un modelo de efectos fijos:
- 8.1.3. Considere un modelo de efectos fijos en notación matricial:
- 8.2. Análisis empírico. Ejercicios conceptuales
- 8.2.1. Partiendo de una base de datos a nivel de país para varios aüos, se quiere llevara a cabo la estimación de un modelo empírico para explicar el crecimiento económico ( % PIB) de un país, a la luz de la teoría de crecimiento del modelo Solow - Swan.
- 8.2.2. Suponga el siguiente modelo:
- 8.2.3. Suponga el modelo de efectos fijos:
- 8.2.4. Asuma que se tiene un modelo de regresión para estimar, mediante la transformación de efectos fijos, en el que se quiere analizar el efecto de la sindicalización sobre los salarios de los trabajadores:
- 8.2.5. Suponga que se quiere estimar el modelo de efectos fijos
- 8.2.6. Suponga el siguiente modelo dinamico de datos de panel:
- 9. Teoría asintotica
- 9.1. Convergencia
- 9.1.1. Para las siguientes secuencias encuentre el límite cuando n ^ ¥
- 9.1.2. es una variable aleatoria con media y varianza , y se sugiere el estimador .
- 9.1.3. El resultado de una función T(Xn) de una variable aleatoria Xn que es i.i.d., esta siendo considerada como estimador q( ) de un parametro. Se debe establecer si:
- 9.1.4. Si Xn ~ i.i.d. Gamma conFDP:
- 9.1.5. Si Xn ~ i.i.d. Uniforme continua con FDP:
- 9.1.6. Si Xn es una secuencia de variables aleatorias i.i.d con densidad binomial, con parametros n y p:
- 9.1.7. Si Xn es una secuencia de variables aleatorias i.i.d. que se ajusta a una distribución Bernoulli:
- 9.1.8. Se tiene una variable aleatoria discreta X con función densidad:
- 9.2. Teorema central del límite
- 9.2.1. El teorema central del límite sugiere que bajo ciertas condiciones una variable aleatoria estandarizada converge en distribución a una distribución normal
- 9.2.2. El teorema central del límite sugiere que bajo ciertas condiciones una variable aleatoria estandarizada converge en distribución a una distribución normal
- 9.2.3. El estimador MCO de la regresión lineal puede escribirse como
- 9.2.4. X y Y son dos variables aleatorias continuas que dan forma a una tercera variable aleatoria bivariada continua con función distribución probabilidad:
- 9.2.5. X y Y son variables aleatorias i.i.d., . X es una variable aleatoria discreta binomial, que toma valores (0,1), con función distribución probabilidad:
- 10. Código Stata
- 10.1. Se proponen dos comandos preliminares para incluir en el archivo .do, estos comandos pueden facilitar la presentación y examen de los resultados. El primero #delimit ; establece como el fin de un comando el símbolo “punto y coma”, despues de presentar este comando Stata interpreta el fin de un comando en este (u otro) símbolo, y no en el final de una línea, el comportamiento por defecto. Proponer este comando es util cuando al utilizar comandos mas elaborados se puede llegar a tener una línea muy larga difícil de manipular.
- 10.2. Código Stata para pregunta 1.3.2. Simulación de datos a partir de una variable aleatoria Normal ~ (0,1) y gráfica del histograma presentado en figura 1.1. En los comandos propuestos en la respuesta se incluyen el símbolo asterisco al inicio de algunas líneas, este símbolo hace que el texto siguiente no sea tenido en cuenta como un comando; esta es una manera util de incluir comentarios respecto al procedimiento que se lleva a cabo. Una segunda manera de incluir comentarios es “encerrar” el texto entre los símbolos /* texto */.
- 10.3. En la pregunta 2.3.1 se examina la relación entre demanda de computadores y la educación de la poblacion. Para investigar la relación se presenta la dispersión de datos de las dos variables sin modificar, y modificadas para una mejor visualización de la relacion. Despues de la presentación de los datos sin transofrmar, las transformaciones sobre las variables corresponden a valores per capita y a las variables reexpresadas en logaritmo natural. La base de datos utilizada es ofrecida por el autor al inicio del grupo de comandos.
- 10.4. En la pregunta 2.3.1 se examina la relación entre demanda de computadores y la educación de la población. Uno de los elementos preliminares del analisis de regresión es obtener estadísticas descriptivas de las variables de interés. La manera como se obtuvierón estas medidas fue mediante el comando outreg2, el resultado se exporta a un archivo que es leído directamente por .
- 10.5. En la pregunta 2.3.1 se examina la relación entre demanda de computadores y la educación de la poblacion. Uno de los apartes de la pregunta busca explora los resultados de regresión de las variables sin transformar, en terminos per capita y en logaritmo natural. La manera como se obtuvierón estas medidas fue mediante el comando regress y se extrajo la información de manera apropiada para la presentación con el comando outreg2. Como opción en el primer comando outreg2 se incluye la opción replace, que sobrescribe los resultados en el archivo final; en los comandos siguientes, se incluye la opción append que agrega resultados de regresión en columnas nuevas a la derecha de la existente. El resultado se exporta a un archivo que es leído directamente por .
- 10.6. En la pregunta 2.3.1 se examina la relación entre demanda de computadores y la educación de la población. Uno de los elementos preliminares del analisis de regresión es obtener estadísticas descriptivas de las variables de interes. La manera como se obtuvieron estas medidas fue mediante el comando outreg2, el resultado se exporta a un archivo que es leído directamente por .
- 10.7. En la pregunta 2.3.1 se examina la relación entre demanda de computadores y la educación de la población. La Ultima parte de la pregunta implica obtener el valor predicho de la ecuación de regresión y el intervalo de confianza. Estos resultados se resumen mediante una figura con la dispersión de datos como fondo. Este tipo de figuras ayudan a entender el resultado de la regresión en terminos de su ambición de acercarse a establecer una relación lineal entre las variables. Este resultado se logra utilizando el comando lfitci que grafica la ecuación de regresión y el intervalo de confianza; para lograr la superposición con la dispersión de datos se utiliza el comando twoway que permite a Stata dos o mas gráficas en el mismo espació, siempre que tengan la estructura de dos ejes.
- 10.8. En la pregunta 2.3.3 se examina la relación entre salario y la educación de la población. En particular se considera la hipótesis de que exista una relación no lineal entre las variables, y por ello se lleva a cabo una estimación incluyendo la variable educación al cuadrado. Los resultados de regresión se obtienen a partir de los siguientes comandos.
- 10.9. En la pregunta 2.3.3 se examina la relación entre salario y la educación de la población. En particular se considera la hipótesis de que exista una relación no lineal entre las variables, y por ello se lleva a cabo una estimación incluyendo la variable educación al cuadrado. La pregunta busca mostrar el valor predicho de la ecuación de regresión. Para obtener la gráfica presentada en el texto se recurre a la opción de Stata de estimar efecto combinado entre variables (interacción doble de variables continuas (##c.)) junto con el comando margins y marginsplot.
- 10.10. En la pregunta 3.4.1 se examina la relación entre salario, educación y el nUmero de computadores de la población. Para considerar los posibles resultados de la relación se presenta la dispersión de datos entre las variables. El resultado se obtiene con el comando graph matrix que genera una figura en la cual cada par de variables de la lista son graficadas en una dispersión de datos para reconocer su relacion.
- 10.11. En la pregunta 3.4.1 se examina la relación entre salario, educación y el número de computadores de la población. Para encontrar los coeficientes de regresión de la relación propuesta, se lleva a cabo la regresión propuesta. Los comandos de extracción de coeficientes son los mismos descritos en la pregunta 10.5.
- 10.12. En la pregunta 3.4.1 se examina la relación entre salario, educación y el número de computadores de la población. Para ahondar en la relación encontrada, se busca obtener los valores predichos de salario para diferentes valores de las variables explicativas. Inicialmente se evaliua para nivel de escolaridad de 3, 6 y 9 aüos (en una tabla), posteriormente para todos los valores entre 0 y 12 anos (en una gráfica incluyendo intervalo de confianza), cuando se mantiene la variable computadores constante; y finalmente para educación entre 0 y 12 anos con valores de 0 y 0.7 en computadores. Los comandos de extracción de coeficientes recurren nuevamente a los comandos margins y marginsplot.
- Referencias
- Tabla de contenido
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