La integral de Riemann, que s'estudia en els cursos d'Anàlisis d'una variable real, és un instrument útil per al càlcul elemental, no obstant això, no cobreix totes les necessitats de l'Anàlisi. Per això, en aquesta monografia, dedicada a la integració, s'estudia la integral de Lebesgue per a funcions de diverses variables. Aquesta integral representa un gran avanç pel que fa a la integral de Riemann ja que permet integrar major quantitat de funcions i fer-ho sobre una família més extensa que la dels conjunts mesurables Jordan; però sobretot, la teoria de Lebesgue proporciona un instrument de gran utilitat, els teoremes de la convergència, teoremes que permeten integrar terme a terme una successió de funcions. Aquesta monografia recull en una forma més elaborada diferents cursos impartits a la Universitat de València.
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- Índice
- Prefacio
- Capítulo I. Notas Históricas
- 1.1. El concepto de integral desde la matemática griega hasta el nacimiento del cálculo
- 1.2. El conceto de integral en Newton y Leibniz
- 1.3. El concepto de integral desde Newton y Leibniz hasta Riemann
- 1.4. La integral de Riemann
- 1.5. El concepto de integral desde Riemann hasta Lebesgue
- Capítulo II. La Integral de Lebesgue en RN
- 2.1. Conjuntos nulos
- 2.2. Funciones escalonadas
- 2.3. Funciones superiores
- 2.4. Funciones integrables Lebesgue
- 2.5. Caracterización de las funciones integrables Riemann
- 2.6. Problemas
- Capítulo III. Teoremas de convergencia
- 3.1. El Teorema de la Convergencia Monótona
- 3.2. El Teorema de la Convergencia Dominada
- 3.3. Problemas
- Capítulo IV. El Teorema de Fubini
- 4.1. El Teorema de Fubini
- 4.2. Ejemplos
- 4.3. Problemas
- Capítulo V. Funciones y conjuntos medibles
- 5.1. Funciones medibles
- 5.2. El criterio de integrabilidad de Tonelli-Hobson
- 5.3. Conjuntos medibles. La medida de Lebesgue en RN
- 5.4. Medibilidad de los conjuntos de Borel
- 5.5. Caracterización de las funciones medibles
- 5.6. Un ejemplo de un conjunto no medible
- 5.7. La medida exterior de Lebesgue
- 5.8. Los teoremas de Egorov y de Luzin
- 5.9. Problemas
- Capítulo VI. Transformación de integrales
- 6.1. Transformación de coordenadas
- 6.2. Fórmula de cambio de variable para transformaciones lineles y afines
- 6.3. Fórmula de cambio de variable para funciones continuas sobre conjuntos compactos
- 6.4. Fórmula de cambio de variable: caso general
- 6.5. Ejemplos
- 6.6. Problemas
- Capítulo VII. Algunas técnicas de cálculo
- 7.1. El principio de Cavalieri. Volúmenes de cuerpos de revolución
- 7.2. Funciones definidas por integrales
- 7.3. Integrales Eulerianas
- 7.4. Problemas
- Capítulo VIII. Los espacios Lp
- 8.1. Integración de funciones complejas
- 8.2. Los espacios Lp
- 8.3. Convolución de funciones
- 8.4. Problemas
- Capítulo IX. Solución de los Problemas
- 9.1. Problemas del Capítulo 2
- 9.2. Problemas del Capítulo 3
- 9.3. Problemas del Capítulo 4
- 9.4. Problemas del Capítulo 5
- 9.5. Problemas del Capítulo 6
- 9.6. Problemas del Capítulo 7
- 9.7. Problemas del Capítulo 8
- Bibliografía
- Índice Analítico
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