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Matemáticas I. Volumen I: Conjuntos Numéricos, Complementos

Matemáticas I. Volumen I: Conjuntos Numéricos, Complementos

Conjuntos Numéricos, Complementos

Esta obra dividida en dos volúmenes, compendia los conocimientos necesarios que un estudiante necesita adquirir para poseer una formación matemática amplia en su incorporación a la Universidad o en sus primeros pasos dentro de ella. Siguiendo este principio, se ha dotado a la obra de rigor y claridad, definiendo los conceptos con precisión e ilustrándolos siempre mediante ejemplos, realizando las demostraciones con detalle, haciendo referencias históricas para contextualizar lo tratado e intercalando en el texto abundantes notas aclaratorias que pueden ahorrarle muchos esfuerzos de comprensión al lector. Se ha añadido también una importante y variada colección de ejercicios y problemas tanto resueltos como para resolver, todos ellos con sus correspondientes soluciones, añadiendo de esta forma un componente práctico de gran importancia. El primer volumen trata sobre los elementos de la lógica proposicional, los conjuntos numéricos (naturales, enteros, racionales, reales y complejos, así como de su evolución histórica), los principios de la combinatoria, una introducción a la teoría de errores, las sucesiones numéricas y una iniciación a las series.
  • Cover
  • Title page
  • Copyright page
  • Prólogo
  • Índice general
  • Tema 0. Elementos de lógica proposicional. Fundamentos del razonamiento matemático
    • Guión
    • 1. Introducción
    • 2. Elementos de lógica proposicional
      • 2.1. Propoosiciones
      • 2.2. Tipos de proposiciones
      • 2.3. Nexos lógicos y fórmulas lógicas
      • 2.4. Tablas de verdad
      • 2.5. Proposiciones tautológicas, contradictorias e indeterminadas. Implicación y equivalencia
      • 2.6. Funciones proposicionales
    • 3. Fundamentos del razonamiento matemático
      • 3.1. Razonamiento inductivo y razonamiento deductivo
      • 3.2. Conceptos primarios y definiciones
      • 3.3. Axiomas
      • 3.4. Teoremas, lemas y corolarios
      • 3.5. Demstraciones
      • 3.6. Lenguaje y rigor matemáticos
    • Bibliografía
  • Tema 1. Números naturales y sistemas de numeración: operaciones
    • Guión
    • 1. El conjunto de los números naturales
      • 1.1. Introducción
      • 1.2. Definición axiomática del conjunto de los números naturales
    • 2. Operaciones en el conjunto de los números naturales
      • 2.1. Adición de números naturales. Propiedades
      • 2.2. Multiplicación de números naturales. Propiedades
      • 2.3. El semianillo de los números naturales
      • 2.4. Potenciación de números naturales. Propiedades
    • 3. Ordenación de los números naturales. Propiedades. Numerabilidad
    • 4. Otras operaciones en N.
      • 4.1. Sustracción de números naturales. Propiedades
      • 4.2. División de números naturales. Propiedades
    • 5. Sistemas de numeración
      • 5.1. Introducción
      • 5.2. Teorema fundamental de los sistemas de numeración
      • 5.3. Propiedades de los sistemas de numeración
      • 5.4. Paso de un sistema de numeración a otro
    • 6. Operaciones en cualquier sistema de numeración
      • 6.1. Adición de números en un sistema de base cualquiera
      • 6.2. Sustracción de números en un sistema de base cualquiera
      • 6.3. Multiplicación de números en un sistema de base cualquiera
      • 6.4. División de números en un sistema de base cualquiera
      • Problemas resueltos
      • Problemas propuestos
      • Bibliografía
  • Tema 2. Técnicas de recuento. Números factoriales y números combinatorios: propiedades. Combinatoria
    • Guión
    • 1. Introducción
    • 2. Técnicas de recuento
      • 2.1. Enumeración
      • 2.2. Correspondencia biyectiva
      • 2.3. Principio de adición
      • 2.4. Principio de multiplicación
      • 2.5. Principio de inclusión-exclusión
      • 2.6. Patrones
    • 3. Números factoriales. Propiedades
    • 4. Números combinatorios. Propiedades
    • 5. Variaciones
      • 5.1. Variaciones sin repetición
      • 5.2. Variaciones con repetición
    • 6. Permutaciones
      • 6.1. Permutaciones sin repetición
      • 6.2. Permutaciones con repetición
    • 7. Combinaciones
      • 7.1. Combinaciones sin repetición
      • 7.2. Combinaciones con repetición
      • Problemas resueltos
      • Problemas propuestos
      • Bibliografía
  • Tema 3. Números enteros: operaciones. Divisibilidad en el conjunto Z. Números primos. Configruencias. Criterios de divisibilidad
    • Guión
    • 1. El conjunto de los números enteros
      • 1.1. Introducción
      • 1.2. Equivalencia de pares ordenados de números naturales
      • 1.3. El conjunto de los números enteros: su construcción a partir del producto N x N
      • 1.4. Representación gráfica de los números enteros
    • 2. El grupo aditivo de los números enteros
      • 2.1. Adición de números enteros. Propiedades
      • 2.2. El grupo aditivo de los números enteros
      • 2.3. Sustracción de números enteros. Propiedades
    • 3. El semigrupo multiplicativo de los números enteros
      • 3.1. Multiplicación de números enteros. Propiedades
      • 3.2. El semigrupo multiplicativo de los números enteros
    • 4. El anillo de los números enteros
    • 5. Ordenación de los números enteros. Propiedades
    • 6. Valor absoluto de un número entero. Propiedades
    • 7. Isomorfismo de N con una parte de Z. Numerabilidad
    • 8. Divisibilidad
      • 8.1. Divisibilidad en el conjunto N
      • 8.2. Múltiplos, divisores y asociados en Z
      • 8.3. Divisibilidad en el anillo de los números enteros
    • 9. Números primos
      • 9.1. Definiciones y propiedades
      • 9.2. Descomposición factorial de un número
      • 9.3. Divisores de un número
    • 10. Congruencias
      • 10.1. Congruencias en el anillo de los números enteros
      • 10.2. Sistemas de números incongruentes
      • 10.3. Restos potenciales
    • 11. Resultados fundamentales de la teoría elemental de números
      • 11.1. Criterio general de divisibilidad
      • 11.2. Criterios elementales de divisibilidad
    • Problemas resueltos
    • Problemas propuestos
    • Bibliografía
  • Tema 4. Números racionales: operaciones. Cuerpo de fracciones de integridad. Números decimales y fracciones generatrices
    • Guión
    • 1. El conjunto de los números racionales
      • 1.1. Introducción
      • 1.2. Equivalencia de pares ordenados de números enteros
      • 1.3. El conjunto de los números raacionales: su construcción a partir de Z x Z
      • 1.4. Representación gráfica de los números racionales
    • 2. El grupo aditivo de los números racionales
      • 2.1. Adición de números racionales. Propiedades
      • 2.2. El grupo aditivo de los números racionales
      • 2.3. Sustracción de números racionales
    • 3. El semigrupo multiplicativo de los números racionales
      • 3.1. Multiplicación de números racionales. Propiedades
      • 3.2. El semigrupo multiplicativo de los números racionales
      • 3.3. División de números racionales
    • 4. El cuerpo de los números racionales
    • 5. Ordenación de los números racionales. Propiedades
    • 6. Valor absoluto de un número racional. Prioridades
    • 7. Isomorfismo de Z con una parte de Q
    • 8. Cuerpo de fracciones de un dominio de integridad
    • 9. Numerabilidad del conjunto Q
    • 10. Los números decimales
    • Problemas resueltos
    • Problemas propuestos
    • Bibliografía
  • Tema 5. Sucesiones de números racionales. Número reales: operaciones. Topología de la recta real
    • Guión
    • 1. Introducción
      • 1.1. Necesidad de los números reales
      • 1.2. Breve reseña histórica sobre los números reales
    • 2. Sucesiones de números racionales
      • 2.1. Definiciones
      • 2.2. Adición de sucesiones. Propiedades
      • 2.3. Multiplicación de sucesiones. Propiedades
      • 2.4. Sucesiones acotadas: estructura algebraica
      • 2.5. Sucesiones convergentes: límites de una sucesión
      • 2.6. Sucesiones nulas: estructura algebraica
      • 2.7. Sucesiones de Cauchy: estructura algebraica
    • 3. El cuerpo de los números reales
      • 3.1. Equivalencia de sucesiones de Cauchy: los números reales
      • 3.2. El grupo aditivo de los números reales
      • 3.3. El semigrupo multiplicativo de los números reales
      • 3.4. El cuerpo de los números reales
      • 3.5. Características del cuerpo de los números reales
    • 4. El conjunto de los números reales ampliado
      • 4.1. Definiciones
      • 4.2. Límites infinitos
      • 4.3. El criterio de Stoltz
    • 5. Conjuntos acotados en R
      • 5.1. Definiciones
      • 5.2. El axioma del supremo
    • 6. Topología de la recta real
      • 6.1. Definiciones generales
      • 6.2. Intervalos y entornos en R
      • 6.3. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados en R
      • 6.4. Puntos interiores, puntos exteriores y puntos frontera en R
      • 6.5. Puntos adherentes y puntos de acumulación en R
      • 6.6. Caracterización por sucesiones de los conjuntos cerrados en R
      • 6.7. El teorema de Bolzano-Weierstrass
    • 7. Conjuntos compactos
      • 7.1. Definiciones
      • 7.2. El teorema de Heine-Borel-Lebesgue
      • Problemas resueltos
      • Problemas propuestos
      • Bibliografía
  • Tema 6. Aproximación de números: errores. Operaciones con números aproximados. Notación científica
    • Guión
    • 1. El sentido de la aproximación
      • 1.1. Introducción
      • 1.2. Los errores y los números aproximados
      • 1.3. Necesidad de operar con números aproximados
    • 2. Error absoluto de un número aproximado: cotas
    • 3. Error relativo de un número aproximado: cotas
    • 4. Número de cifras exactas de un valor aproximado
    • 5. Obtención de valores aproximados con todas sus cifras exactas
    • 6. Determinación de cotas de los errores absoluto y relativo
    • 7. Errores en las operaciones elementales con números aproximados
      • 7.1. Adición y sustracción
      • 7.2. Multiplicación y división
      • 7.3. Potenciación y radiación
    • 8. Problema directo del cálculo con números aproximados
    • 9. Problema inverso del cálculo con números aproximados
    • Notació científica
    • Problemas resueltos
    • Problemas propuestos
    • Bibliografía
  • Tema 7. Sucesiones de números reales. Progresiones aritméticas y geométricas: aplicaciones. Progresiones aritméticas de orden superior
    • Guión
    • 1. Sucesiones de números reales
      • 1.1. Concepto de sucesión en R
      • 1.2. Formas de definir una sucesión: prpiedad característica, término general y forma recurrente
    • 2. Progresiones aritméticas
      • 2.1. Definiciones y caracterización
      • 2.2. Formas de definir una progresión aritmética
      • 2.3. Interpolación aritmética
      • 2.4. Suma de un número finito de términos consecutivos de una progresión aritmética
      • 2.5. Suma de los infinitos términos de una progrsión aritmética: series aritméticas
    • 3. Progresiones geométricas
      • 3.1. Definiciones y caracterización
      • 3.2. Formas de definir una prograsión geométrica
      • 3.3. Interpolación geométrica
      • 3.4. Producto de un número finito de términos consecutivos de una progresión geométrica
      • 3.5. Suma de un número finito de términos consecutivos de una progresión geométrica
      • 3.6. Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica: series geométricas
    • 4. Aplicaciones de las progresiones
      • 4.1. Cálculo de la fracción generatrtiz de los números decimales periódicos
      • 4.2. Aplicaciones a la matemática comercial
    • 5. Progresiones aritméticas de orden superior
      • 5.1. Funciones de variable entera
      • 5.2. Operador diferencia en el conjunto de las funciones enteras de variable entera: definición y propiedades
      • 5.3. Diferencias de orden superior
      • 5.4. Fórmula de interpolación de Newton
      • 5.5. Progresiones aritméticas de orden superior: definición y propiedades
      • Problemas resueltos
      • Problemas propuestos
      • Apéndice
      • Ejercicios de aplicación
      • Bibliografía
  • Tema 8. Números complejos: operaciones. Formas de los números complejos. Aplicaciones geométricas de los números complejos
    • Guión
    • 1. Introducción
    • 2. El conjunto de los números complejos
    • 3. El cuerpo de los números complejos
      • 3.1. El grupo aditivo de los números complejos: definición y propiedades
      • 3.2. La relación de orden en el grupo aditivo de los números complejos
      • 3.3. El r-espacio vectorial de los números complejos
      • 3.4. El grupo multiplicativo de los números complejos: definición y propiedades
      • 3.5. El cuerpo de los números complejos
      • 3.6. Isomorfismo de R con una parte de C
      • 3.7. Forma binómica de los números complejos: operaciones
    • 4. Complejos conjugados. Automorfismo de C
    • 5. Representación geométrica de los números complejos
    • 6. Módulo o valor absoluto de un número complejo
    • 7. Forma trigonométrica de los números complejos
    • 8. Potenciación de números complejos
      • 8.1. Forma trigonométrica
      • 8.2. Forma módulo-argumental o polar
      • 8.3. Forma binómica
    • 9. Radiación de números complejos
      • 9.1. Raíces enésimas de un número complejo
      • 9.2. Raíces enésimas de la unidad
    • 10. Algunas aplicaciones geométricas de los números complejos
    • Problemas resueltos
    • Problemas propuestos
    • Bibliografía
  • Tema 9. Sucesivas ampliaciones del concepto de número: evolución histórica y problemas que resuelve cada una
    • Guión
    • 1. Introducción
    • 2. Orígenes primitivos: los números naturales
      • 2.1. El concepto de número
      • 2.2. Las bases de numeración primitivas
      • 2.3. El lenguaje numérico y los orígenes de la numeración
      • 2.4. El número natural
    • 3. Los números enteros
      • 3.1. China: los números negativos
      • 3.2. La India: un símbolo para el cero
      • 3.3. El número entero
    • 4. Los números racionales
      • 4.1. Egipto: las fracciones unitarias
      • 4.2. Mesopotamia: las fracciones sexagesimales
      • 4.3. China: las fracciones decimales
      • 4.4. El número racional: fracciones
    • 5. Los números reales
      • 5.1. Los inconmensurables
      • 5.2. Origen aritmético y geométrico de los números irracionales
      • 5.3. Cortaduras en el campo de los números racionales: el número real
      • 5.4. Representación geométrica de los números reales
    • 6. Los números complejos
      • 6.1. Los números imaginarios
      • 6.2. El número complejo
    • Bibliografía

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