Esta obra dividida en dos volúmenes, compendia los conocimientos necesarios que un estudiante necesita adquirir para poseer una formación matemática amplia en su incorporación a la Universidad o en sus primeros pasos dentro de ella.
Siguiendo este principio, se ha dotado a la obra de rigor y claridad, definiendo los conceptos con precisión e ilustrándolos siempre mediante ejemplos, realizando las demostraciones con detalle, haciendo referencias históricas para contextualizar lo tratado e intercalando en el texto abundantes notas aclaratorias que pueden ahorrarle muchos esfuerzos de comprensión al lector. Se ha añadido también una importante y variada colección de ejercicios y problemas tanto resueltos como para resolver, todos ellos con sus correspondientes soluciones, añadiendo de esta forma un componente práctico de gran importancia.
El segundo volumen estudia conceptos básicos de la teoría de conjuntos, las estructuras algebraicas (grupos, anillos, cuerpos, espacios vectoriales, etc.), los fundamentos del álgebra Lineal (polinomios, matrices, determinantes, ecuaciones algebraicas, ecuaciones algebraicas, ecuaciones diofánticas y sistemas de ecuaciones, incluyendo una pequeña introducción a la programación lineal), finalizando todo ello con un capítulo dedicado de forma breve a la evolución histórica del álgebra.
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- Prólogo
- Tema 10. Conceptos básicos de la teoría de conjuntos: operaciones. Producto cartesiano de conjuntos. Aplicaciones entre conjuntos. Relaciones binarias y leyes de composición
- Guión
- 1. Conceptos básicos de la teoría de conjuntos
- 1.1. Introducción
- 1.2. Conjuntos y elementos. Cuantificadores y símbolos proposicionales. Representación de conjuntos
- 1.3. Igualdad de conjuntos
- 1.4. Subconjuntos. Inclusión
- 1.5. Conjunto de las paredes de un conjunto
- 1.6. Operaciones con conjuntos
- 1.7. Retículo y álgebra de boole de las partes de un conjunto
- 1.8. Otras operaciones entre conjuntos
- 2. Producto cartesiano de conjuntos
- 2.1. Pares ordenados
- 2.2. Producto de conjuntos. Propiedades
- 3. Aplicaciones entre conjuntos
- 3.1. Correspondencias
- 3.2. Aplicaciones. Tipos de aplicaciones
- 3.3. Numerabilidad de conjuntos
- 4. Relaciones binarias
- 4.1. Relaciones entre los elementos de un conjunto. Propiedades
- 4.2. Relaciones de equivalencia. Clases de equivalencia. Conjunto cociente
- 4.3. Relaciones de orden: preorden, orden parcial, orden total, orden estricto
- 5. Leyes de composición
- 5.1. Leyes de composición interna. Propiedades. Elementos notables
- 5.2. Leyes de composición externa. Propiedades
- 5.3. Homomorfismos. Propiedades
- 5.4. Isomorfismos. Teorema de isomorfía
- Problemas resueltos
- Problemas propuestos
- Bibliografía
- Tema 11. Estructuras algebraicas: concepto y clasificación
- Guión
- 1. Estructuras algenraicas: concepto
- 2. Clases de estructuras algebraicas
- 2.1. Estructuras algebraicas con una operación interna
- 2.2. Estructuras algebraicas con dos operaciones internas
- 2.3. Estructuras algebraicas con una operación interna y otra externa
- Problemas resueltos
- Problemas propuestos
- Bibliografía
- Tema 12. Espacios vectoriales reales. Variedades lineales. Aplicaciones entre espacios vectoriales reales. Teoremas de isomorfía
- Guión
- 1. Espacios vectoriales
- 2. Espacios vectoriales reales. Propiedades
- 3. Producto de espacios vectoriales reales
- 4. Subespacios y vectoriales reales
- 4.1. Intersección de subespacios vectoriales
- 4.2. Unión de subespacios vectoriales
- 4.3. Suma de subespacios vectoriales
- 4.4. Suma directa de subespacios vectoriales
- 4.5. Espacio vectorial cociente
- 5. Variedades lineales
- 5.1. Combinaciones lineales
- 5.2. Dependencia e independencia lineales. Propiedades
- 5.3. Sistemas de generadores
- 5.4. Bases de un espacio vectorial. Dimensión
- 5.5. Rango de un conjunto de vectores
- 5.6. Dimensión de subespacios
- 5.7. Cambio de base
- 6. Aplicaciones entre espacios vectoriales reales
- 6.1. Aplicaciones lineales, morfismos u homomorfismos
- 6.2. Isomorfismos
- 6.3. Núcleo e imagen de una aplicación lineal
- 6.4. Teoremas de isomorfía
- 6.5. Rango de una aplicación lineal
- 7. El conjunto de aplicaciones lineales de un espacio vectorial real en otro
- Problemas resueltos
- Problemas propuestos
- Apéndice
- Bibliografía
- Tema 13. Polinomios: operaciones. Fórmula de Newton. Divisibilidad de polinomios. Derivada de un polinomio. Fracciones algebraicas
- Giión
- 1. Polinomios en una indeterminada. Definiciones generales
- 2. El anillo de los polinomios en una indeterminada
- 2.1. Adición de polinomios. Propiedades
- 2.2. Multiplicación de polinomios. Propiedades
- 2.3. El anillo de los polinomios
- 2.4. Funciones polinómicas
- 3. El espacio vectorial de los polinomios en una indeterminada
- 4. Potencia de un polinomio
- 4.1. Triángulo de Pascal
- 4.2. Producto de varios binomios
- 4.3. Potencia de un binomio: fórmula de Newton
- 4.4. Potencia de un polinomio: método de Leibniz
- 5. Divisibilidad de polinomios en una indeterminada
- 5.1. Divisibilidad en (A[x], +,·): Relación de divisibilidad
- 5.2. Divisibilidad en (K[x], +, ·)
- 5.3. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios
- 5.4. Descomposición de un polinomio en factores primos
- 5.5. Derivada de un polinomio
- 6. Fracciones algebraicas o racionales
- 6.1. Definición. Razones algebraicas
- 6.2. El cuerpo de las razones algebraicas en una indeterminada
- 6.3. Descomposición en fracciones simples
- Problemas resueltos
- Problemas propuestos
- Bibliografía
- Tema 14. Matrices. Álgebra de matrices. Rango de una matriz. Matrices y aplicaciones lineales. Aplicaciones de las matrices al campo de las ciencias sociales y de la naturaleza
- Guión
- 1. Matrices: definiciones y notaciones
- 2. El espacio vectorial de las matrices de orden m x n
- 2.1. Adición de matrices. Propiedades
- 2.2. Producto de matrices por un escalar. Propiedades
- 2.3. El espacio vectorial de las matrices de orden m x n
- 3. El álgebra de las matrices cuadradas de orden n
- 3.1. Multiplicación de matrices. Propiedades
- 3.2. El anillo de las matrices cuadradas de orden n
- 3.3. El álgebra de las matrices cuadradas de orden n
- 3.4. matrices inversibles
- 4. Transformaciones elementales de una matriz
- 5. Traspuestas de una matriz: matrices simétricas y antisimétricas
- 6. Rango de una matriz
- 7. Matriz asociada a una aplicación lineal u homomorfismo
- 8. Aplicación lineal asociada a una matriz
- 9. Matriz de cambio de base
- 10. Aplicaciones de las matrices al campo de las ciencias sociales y de la naturaleza
- Problemas resueltos
- Problemas propuestos
- Bibliografía
- Tema 15. Determinante de una matriz cuadrada: propiedades. Determinantes de orden superior. Aplicaciones de los determinantes
- Guión
- 1. Introducción
- 2. Determinantes de una matriz cuadrada
- 2.1. Concepto de determinante
- 2.2. Determinantes de segundo orden
- 2.3. Determinantes de tercer orden: regla de Sarrus
- 2.4. Determinantes de orden superior
- 2.5. Propiedades de los determinantes
- 2.6. Menor complementario y adjunto de un elemento
- 3. Cálculo de determinantes de orden superior. El determinante de Vandermonde
- 4. Aplicaciones de los determinantes
- 4.1. Cálculo de la matriz inversa: matriz adjunta, determinante adjunto, determinante recíproco y matriz ortogonal
- 4.2. Estudio de la dependencia lineal de vectores
- 4.3. Cálculo del rango de una matriz
- Problemas resueltos
- Problemas propuestos
- Bibliografía
- Tema 16. Ecuaciones algebraicas: tipos. Introducción a la resolución de ecuaciones algebraicas de grado superior. Aproximación numérica de raíces
- Guión
- 1. Introducción
- 2. Ecuaciones algebraicas
- 3. Tipos de ecuaciones algebraicas
- 4. Transformaciones de ecuaciones
- 5. Resolución de ecuaciones
- 5.1. Ecuaciones de primer grado
- 5.2. Ecuaciones de segundo grado y ecuaciones bicuadradas
- 5.3. Ecuaciones de tercer grado. Discusión de sus raíces
- 6. Aproimación numérica de raíces
- 6.1. Relación entre los coeficientes y las raíces de una ecuación
- 6.2. Orden de multiplicidad de las raíces de una ecuación
- 6.3. Raíces enteras y racionales de una ecuación con coeficientes racionales
- 6.4. Raíces imaginarias y conjugadas irracionales de una ecuación
- 6.5. Raíces reales de una ecuación
- Problemas resueltos
- Problemas propuestos
- Bibliografía
- Tema 17. Ecuaciones diofánticas: Concepto, tipos y métodos de resolución
- Guión
- 1. Introducción
- 2. Ecuaciones diofánticas: concepto
- 3. Ecuaciones diofánicas lineales
- 3.1. Ecuaciones diofánticas lineales con una incógnita
- 3.2. Ecuaciones diofánticas lineales con dos incógnitas
- 3.3. Ecuaciones diofánticas lineales formadas por más de dos incógnitas
- 4. Ecuaciones diofánticas no lineales
- 4.1. Ecuaciones diofánticas no lineales con dos incógnitas
- 4.2. Ecuaciones diofánticas no lineales compuestas por más de dos incógnitas
- 5. Ecuaciones diofánticas planteadas con congruencias
- Problemas resueltos
- Prblemas propuestos
- Bibliografía
- Tema 18. Sistemas de ecuaciones lineales: discusión y resolución. Regla de Cramer. Teorema de Rouché-Fröbenius. Método de Gauss. Método de eliminación de Gauss-Jordan. Sistemas de ecuaciones diofánticas lineales
- Guión
- 1. Introdicción
- 2. Definiciones generales
- 3. Equivalencia de sistemas lineales
- 4. Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y no homogéneos
- 5. Reslución y discusión de los sistemas de ecuaciones lineales
- 5.1. Sistemas de Cramer: regla de Cramer
- 5.2. Resolución matricial de sistemas
- 5.3. Teorema de Rouché-Fröbenius: discusión de sistemas no homogéneos
- 5.4. Resolución de sistemas lineales homogéneos
- 5.5. Método de Gauss: discusión de sistemas lineales cualesquiera
- 5.6. Método de eliminación de Gauss-Jordan
- 6. Sistemas de ecuaciones diofánticas lineales
- Problemas resueltos
- Problemas propuestos
- Bibliografía
- Tema 19. Introducción a la programación lineal. Aplicaciones
- Guión
- 1. Breve reseña histórica
- 2. El problema de la programación lineal
- 2.1. Conceptos generales
- 2.2. Los problemas de optimización y sus tipos
- 2.3. Formulación de los problemas de programación lineal
- 3. Principios básicos de la programación lineal
- 3.1. Conjuntos convexos
- 3.2. Principales teoremas de la programación lineal
- 4. Métodos de resolución para problemas con dos variables
- 4.1. Método de resolución gráfico
- 4.2. Método de resolución algebraico
- 5. Método del simplex
- 6. Aplicaciones de la programación lineal
- Problemas resueltos
- Problemas propuestos
- Bibliografía
- Tema 20. El álgebra y su lenguaje: importancia de su desarrllo y problemas que resuelve. Evolución histórica del álgebra
- Guión
- 1. Introducción
- 2. El lenguaje algebraico
- 2.1. Cantidades y relaciones
- 2.2. Operaciones
- 2.3. Expresiones algebraicas
- 3. Aplicaciones
- 4. Evolución histórica del álgebra
- 4.1. Álgebra egipcia
- 4.2. Álgebra babilónica
- 4.3. Álgebra griega
- 4.4. Álgebra china
- 4.5. Álgebra india
- 4.6. Álgebra árabe
- 4.7. Álgebra medieval
- 4.8. Álgebra europea renacentista
- 4.9. Álgebra europea del siglo XVII
- 4.10 Álgebra moderna y abstracta
- Bibliografía
Texto
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