Teoría de la medida e integración son temas centrales del análisis matemático. En los siete primeros capítulos se exponen las clases de conjuntos (anillos, - anillos, clases monótonas...), medida y medida exterior, funciones medibles, integrales de Lebesgue, teoremas de Fubini y de Hobson-Tonelli, medidas de Borel definidas por funcionales positivas y espacios Lp de Lebesgue. El octavo y último capítulo ofrece una variada colección de problemas con sus desarrollos completos y sus soluciones, lo que confiere singularidad por los pocos textos existentes con esta característica. El texto introduce al estudiante de forma gradual y escalonada en una teoría nueva, al tiempo que le prepara, situándole en un adecuado punto de partida, para posteriores estudiso en Teoría de la Medida y Probabilidad, Análisis Funcional y de Fourier y Teoría Ergódica, entre otras materias.
- Lecciones sobre la teoría de la Medida e Integración
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- Prólogo
- A modo de presentación
- Índice general
- Introducción
- Capítulo 1. Clases de Conjuntos
- 1.1. Anillos
- 1.2. Un anillo de intervalos
- 1.3. Álgebras de conjuntos
- 1.4. σ−anillos y σ−´algebras
- 1.5. Clases monótonas
- 1.6. Ejercicios
- Capítulo 2. Medida y medida exterior
- 2.1. El sistema ampliado de los números reales o recta real completada
- 2.2. Medidas aditivas sobre un anillo
- 2.3. Medidas sobre un anillo
- 2.4. Medida aditiva regular sobre un anillo R en un espacio topológico X
- 2.5. Medidas exteriores sobre un σ-anillo hereditario
- 2.6. Teorema de extensión de Hahn
- 2.7. Extensión de medidas σ−finitas
- 2.8. Medida de Lebesgue-Stieltjes
- 2.8.1. La medida de Lebesgue-Stieltjes en R
- 2.8.2. La medida de Lebesgue en la recta real R
- 2.8.3. Notas sobre el problema de la medida y el concepto deconjunto μ∗-medible de Carathéodory
- 2.8.4. Estudio del conjunto ternario de Cantor
- 2.8.5. Cardinalidad de la familia L
- 2.9. Ejercicios
- Capítulo 3. Funciones medibles
- 3.1. Introducción
- 3.2. Aplicaciones y funciones medibles
- 3.3. Límites superior e inferior
- 3.4. Funciones simples
- 3.5. Propiedades que se verifican casi por todas partes
- 3.6. Modos de convergencia
- 3.7. Ejercicios
- Capítulo 4. Integración
- 4.1. Integración de funciones no negativas
- 4.2. Funciones integrables (o sumables) y sus integrales
- 4.3. Propiedades elementales de la integral
- 4.4. Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue
- 4.5. La integral de Riemann en relación con la de Lebesgue
- 4.6. Ejercicios
- Capítulo 5. Los teoremas de Fubini
- 5.1. Producto de espacios medibles
- 5.2. Producto de espacios de medida
- 5.3. Medida de Lebesgue en Rn
- 5.4. Productos tensoriales de medidas
- 5.5. Teoremas de Fubini y de Hobson - Tonelli
- 5.6. Complección del producto de medidas
- 5.7. Ejercicios
- Capítulo 6. Medidas de Borel positivas
- 6.1. Introducción heurística
- 6.2. Conceptos topológicos
- 6.3. El teorema de representación de Riesz para funcionales positivos
- 6.4. Propiedades de regularidad de las medidas de Borel
- 6.5. Otra definición de la medida de Lebesgue en Rn
- 6.6. Los tres principios de Littlewood
- 6.7. Propiedades de continuidad de las funciones medibles
- 6.8. Una aplicación del Teorema de Lusin original de S. Banach
- 6.9. Ejercicios
- Capítulo 7. Los espacios de Lebesgue Lp
- 7.1. Funciones convexas y desigualdades
- 7.2. Desigualdades de H¨older y Minkowski
- 7.3. Los conjuntos Lp(μ), 0 < p≤∞.
- 7.4. Relaciones de contenido entre los conjuntos Lp(μ)
- 7.5. Los espacios de Lebesgue
- 7.6. La completitud de los espacios Lp(μ), (1 ≤ p ≤∞).
- 7.7. Aproximación
- 7.8. Las Lp−completaciones del espacio Cc(Rn)
- 7.9. Ejercicios
- Capítulo 8. Soluciones de los ejercicios
- 8.1. Resoluciones del Capítulo I
- 8.2. Resoluciones del Capítulo II
- 8.3. Resoluciones del Capítulo III
- 8.4. Resoluciones del Capítulo IV
- 8.5. Resoluciones del Capítulo V
- 8.6. Resoluciones del Capítulo VI
- 8.7. Resoluciones del Capítulo VII
- Apéndice A. El teorema de Baire
- Apéndice B. Teorema de Lebesgue de integrabilidad según Riemann
- Apéndice C. La integral de Riemann para funciones f ∈ Cc(Rn)
- Índice alfabético
- Bibliografía
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