Introducción a la teoría de números

Author: Zaldívar, Felipe
Publisher: Fondo de Cultura Económica
Serie: Ciencia y Tecnología
ISBN: 9786071607386
eISBN Pdf: 9786071618818
Place of publication: Ciudad de México , Mexico
Year of publication: 2014
Year of digital publication: 2014
Month: March
Pages: 198
DDC: 512.70000000000005
Language: Spanish

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Este libro es una introducción a la teoría de números, también conocida como "aritmética superior": comienza con una discusión sobre la noción de divisibilidad y aborda las propiedades elementales de las congruencias; estudia la existencia de raíces y las congruencias cuadráticas, para concluir con el estudio de algunas ecuaciones diofantinas de grado 2 y 3, además de la llamada ecuación de Pell. El autor se centra en el tema de la criptografía, una de sus aplicaciones, desde los primeros capítulos y trata temas tan recientes como los criptosistemas de Rabin, sin que el método deje de ser elemental.

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Índice general
Prólogo
Matemáticos cuyos trabajos se han citado en el libro
Lista de símbolos más usados
I. El teorema fundamental de la aritmética
- I.1 Divisibilidad
  - I.1.1 El algoritmo de la división
  - I.1.2 Máximo común divisor
- Ejercicios
- I.2 Primos y factorización única
  - I.2.1 Factorización única
  - I.2.2 La criba de Eratóstenes
  - I.2.3 Infinitud del conjunto de primos
- Ejercicios
- I.3 El algoritmo de Euclides
  - I.3.1 El mínimo común múltiplo
- Ejercicios
- I.4 Ecuaciones diofantinas lineales
- Ejercicios
II. Congruencias y criptografía
- II.1 Congruencias y aritmética modular
  - II.1.1 Congruencias lineales
- Ejercicios
- II.2 Los teoremas de Fermat y Euler
- Ejercicios
- II.3 Criptografía
  - II.3.1 Cifradores de substitución
  - II.3.2 Criptoanálisis
- Ejercicios
- II.4 El criptosistema RSA
  - II.4.1 Un algoritmo para calcular potencias y raíces
  - II.4.2 Un algoritmo para escribir un decimal en binario
  - II.4.3 Eficiencia de algunos algoritmos
  - II.4.4 Eficiencia del algoritmo de Euclides
  - II.4.5 Eficiencia del cálculo de potencias y raíces módulo n
  - II.4.6 Firmas digitales
- Ejercicios
III. Números perfectos y funciones multiplicativas
- III.1 Primos de Mersenne y números perfectos
- Ejercicios
- III.2 Funciones multiplicativas
  - III.2.1 Divisores y la función φ de Euler
  - III.2.2 El número de divisores de un entero
  - III.2.3 La función μ de Möbius
- Ejercicios
IV. Raíces primitivas y logaritmos discretos
- Ejercicios
- IV.1 Raíces primitivas
- Ejercicios
  - IV.1.1 Raíces primitivas para primos
    - El exponente de U(Z/n)
  - Ejercicios
  - IV.1.2 Raíces primitivas para potencias de primos
    - Raíces primitivas para potencias de 2
  - Ejercicios
  - IV.1.3 Raíces primitivas en el caso general
  - Resumen
  - Ejercicios
- IV.2 Logaritmos discretos
  - Ejercicios
- IV.3 El intercambio de claves de Diffie-Hellman
- IV.4 El criptosistema de ElG
  - IV.4.1 Firmas digitales usando ElGamal
- Ejercicios
V. Residuos cuadráticos
- V.1 Residuos cuadráticos y raíces primitivas módulo p
  - V.1.1 ¿Cuándo es −1 un RC módulo p?
  - V.1.2 ¿Cuándo es 2 un RC módulo p?
- Ejercicios
- V.2 La ley de reciprocidad cuadrática
  - V.2.1 Congruencias cuadráticas en general
  - V.2.2 Primos de la forma ak + b
- Ejercicios
- V.3 El símbolo de Jacobi
- Ejercicios
- V.4 El criptosistema de Rabin
- Ejercicios
VI. Sumas de potencias
- VI.1 Ternas Pitagóricas
  - VI.1.1 Una excursión por la geometría
- Ejercicios
- VI.2 La conjetura de Fermat
- Ejercicios
- VI.3 Sumas de dos cuadrados
- Ejercicios
- VI.4 Sumas de cuatro cuadrados
  - VI.4.1 Sumas de tres cuadrados
  - Ejercicios
  - VI.4.2 Un poco de historia
VII. La ecuación de Pell y aproximaciones diofantinas
- VII.1 La ecuación de Pell: un caso particular
  - VII.1.1 El problema del ganado de Arquímedes
  - VII.1.2 El caso particular de la ecuación de Pell
- Ejercicios
- VII.2 La ecuación de Pell: el caso general
- Ejercicios
- VII.3 Aproximación diofantina y la ecuación de Pell
  - VII.3.1 La existencia de soluciones de la ecuación de Pell
- Ejercicios
VIII. Números congruentes y curvas elípticas
- VIII.1 Números congruentes
- VIII.1.1 Puntos racionales en ciertas cúbicas
- Ejercicios
- VIII.2 Curvas elípticas
  - VIII.2.1 La operación de grupo
  - VIII.2.2 El teorema de Mordell
  - VIII.2.3 Reducción módulo
- Ejercicios
- VIII.3 La función L de Hasse-Weil de una curva elíptica
Bibliografía
Índice analítico y onomástico

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