La integral de Lebesgue en RN

La integral de Lebesgue en RN

Teoría y problemas

La integral de Riemann, que se estudia en los cursos de Análisis de una variable real, es un instrumento útil para el cálculo elemental, sin embargo, no cubre todas las necesidades del Análisis. Por ello, en esta monografía, dedicada a la integración, se estudia la integral de Lebesgue para funciones de varias variables. Esta integral representa un gran avance con respecto a la integral de Riemann ya que permite integrar mayor cantidad de funciones y hacerlo sobre una familia más extensa que la de los conjuntos medibles Jordan; pero sobre todo, la teoría de Lebesgue proporciona un instrumento de gran utilidad, los teoremas de la convergencia, teoremas que permiten integrar término a término una sucesión de funciones. Esta monografía recoge en una forma más elaborada distintos cursos impartidos en la Universitat de Valencia.
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  • Índice
  • Prefacio
  • Capítulo I. Notas Históricas
    • 1.1. El concepto de integral desde la matemática griega hasta el nacimiento del cálculo
    • 1.2. El conceto de integral en Newton y Leibniz
    • 1.3. El concepto de integral desde Newton y Leibniz hasta Riemann
    • 1.4. La integral de Riemann
    • 1.5. El concepto de integral desde Riemann hasta Lebesgue
  • Capítulo II. La Integral de Lebesgue en RN
    • 2.1. Conjuntos nulos
    • 2.2. Funciones escalonadas
    • 2.3. Funciones superiores
    • 2.4. Funciones integrables Lebesgue
    • 2.5. Caracterización de las funciones integrables Riemann
    • 2.6. Problemas
  • Capítulo III. Teoremas de convergencia
    • 3.1. El Teorema de la Convergencia Monótona
    • 3.2. El Teorema de la Convergencia Dominada
    • 3.3. Problemas
  • Capítulo IV. El Teorema de Fubini
    • 4.1. El Teorema de Fubini
    • 4.2. Ejemplos
    • 4.3. Problemas
  • Capítulo V. Funciones y conjuntos medibles
    • 5.1. Funciones medibles
    • 5.2. El criterio de integrabilidad de Tonelli-Hobson
    • 5.3. Conjuntos medibles. La medida de Lebesgue en RN
    • 5.4. Medibilidad de los conjuntos de Borel
    • 5.5. Caracterización de las funciones medibles
    • 5.6. Un ejemplo de un conjunto no medible
    • 5.7. La medida exterior de Lebesgue
    • 5.8. Los teoremas de Egorov y de Luzin
    • 5.9. Problemas
  • Capítulo VI. Transformación de integrales
    • 6.1. Transformación de coordenadas
    • 6.2. Fórmula de cambio de variable para transformaciones lineles y afines
    • 6.3. Fórmula de cambio de variable para funciones continuas sobre conjuntos compactos
    • 6.4. Fórmula de cambio de variable: caso general
    • 6.5. Ejemplos
    • 6.6. Problemas
  • Capítulo VII. Algunas técnicas de cálculo
    • 7.1. El principio de Cavalieri. Volúmenes de cuerpos de revolución
    • 7.2. Funciones definidas por integrales
    • 7.3. Integrales Eulerianas
    • 7.4. Problemas
  • Capítulo VIII. Los espacios Lp
    • 8.1. Integración de funciones complejas
    • 8.2. Los espacios Lp
    • 8.3. Convolución de funciones
    • 8.4. Problemas
  • Capítulo IX. Solución de los Problemas
    • 9.1. Problemas del Capítulo 2
    • 9.2. Problemas del Capítulo 3
    • 9.3. Problemas del Capítulo 4
    • 9.4. Problemas del Capítulo 5
    • 9.5. Problemas del Capítulo 6
    • 9.6. Problemas del Capítulo 7
    • 9.7. Problemas del Capítulo 8
  • Bibliografía
  • Índice Analítico

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