Curso de variedades diferenciables, grupos de Lie y técnicas simplécticas

Curso de variedades diferenciables, grupos de Lie y técnicas simplécticas

El present llibre és un compendio de temes de Geometria Diferencial, encaminat al desenvolupament de les tècniques simplèctiques. Es tracta d'un text pràcticament autocontingut en el qual es distingeixen tres nivells. El primer nivell està constituït pels catorze primers capítols, en els quals s'exposen amb summe detall els raonaments i les demostracions, amb la finalitat de que el lector adquirisca desimboltura en la manera de pensar en aquesta disciplina. El segon nivell el formen la teoria dels grups de Lie, les invariants integrals i l'estudi de sistemes exteriors. Està dedicat als estudiants amb els coneixements apresos en el primer nivell. Les demostracions segueixen sent rigoroses, si bé ja no s'insisteix, com es va fer en el primer nivell, en l'exposició d'arguments elementals. La tercera i última part aborda les tècniques simplèctiques i les seves aplicacions.
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  • Índice
  • Introducción
  • 1. Variedades diferenciables
    • 1.1. Bases de abiertos. Teorema de Lindelöf
    • 1.2. Sistemas de coordenadas, atlas y variedades diferenciables
    • 1.3. Aplicaciones diferenciables entre variedades
    • 1.4. Rango de una aplicación diferenciable. Teorema del rango constante
    • 1.5. Producto de variedad diferenciables
  • 2. Los espacios tangentes
    • 2.1. Espacio vectorial tangente
    • 2.2. Operadores diferenciales. Bases naturales
    • 2.3. El espacio cotangente
    • 2.4. Aplicación lineal. Regla de la cadena
    • 2.5. Cambio de bases
  • 3. El fibrado tangente
    • 3.1. Fibrado tangente y variedad tangente
    • 3.2. Campos vectoriales
    • 3.3. Campos vectoriales relacionados
    • 3.4. Corchete de Lie
    • 3.5. Levantamiento canónico
    • 3.6. Rango de composición de aplicaciones diferenciables. Teorema de la función inversa
    • 3.7. Espacios tangentes de producto de variedades. Fórmulas de Leibniz
  • 4. Subvariedades
    • 4.1. Inmersiones. Propiedades
    • 4.2. Subvariedades
    • 4.3. Variedades inmersas
    • 4.4. Bases numerables en variedades
    • 4.5. Vectores tangentes a subvariedades
  • 5. Sumersiones
    • 5.1. Sumersiones. Propiedades
    • 5.2. Fibras. Propiedades
    • 5.3. Variedades cocientes
  • 6. Transversalidad y producto fibrado de variedades
    • 6.1. Subvariedades regulares
    • 6.2. Transversalidad e intersección
    • 6.3. Producto fibrado de variedades
  • 7. Ecuaciones diferenciales de primer orden en variedades
    • 7.1. Curvas integrales
    • 7.2. Estudio de las curvas integrales
    • 7.3. Flujos y grupos uniparamétrico. Teorema fundamental de los campos vectoriales
  • 8. Ecuaciones diferenciales de segundo orden en variedades
    • 8.1. Definición y estructura local
    • 8.2. Sprays
    • 8.3. Aplicación exponencial
    • 8.4. Conexión de Koszul
    • 8.5. Sprays en variedades paralelizables
  • 9. Foliaciones
    • 9.1. Distribuciones y foliaciones
    • 9.2. Teoremas de existencias. Teorema de Frobenius
  • 10. Variedades integrales
    • 10.1. Variedad. Variedades foliadas
    • 10.2. Variedades integrales
    • 10.3. Ejemplos de foliaciones y de variedades integrales
    • 10.4. Difeomorfismos que preservan foliaciones
    • 10.5. Apliaciones diferenciables en variedades integrales
  • 11. Foliaciones regulares
    • 11.1. Foliaciones regulares
    • 11.2. Variedades cociente por una foliación regular
  • 12. El fibrado cotagente
    • 12.1. Retroacciones de covectores y de funciones diferenciables. variedad cotangente
    • 12.2. Fibrado cotangente. 1-formas diferenciales
    • 12.3. Retroacciones de 1-formales diferenciales
  • 13. Fibrados tensoriales
    • 13.1. Representación tensorial
    • 13.2. Tensores
    • 13.3. Retroacciones e imágenes directas de tensores
    • 13.4. Variedades tensoriales. Fibrados tensoriales
    • 13.5. Derivada de Lie. Definición y cálculo
  • 14. Cálculo exterior
    • 14.1. p-formas. Producto exterior
    • 14.2. p-formas diferenciales. Diferencial exterior. Existencia y unicidad
    • 14.3. La derivada de Lie en el cálculo exterior
  • 15. Sistemas exteriores
    • 15.1. Ecuaciones exteriores
    • 15.2. Ideal generado por un sistema exterior y sistemas algebraicamente equivalentes
  • 16. Sistemas de Pfaff
    • 16.1. Definiciones y propiedades inmediatas
    • 16.2. Sistemas diferenciales de Pfaff
    • 16.3. Criterios de integrabilidad de sistemas de Pfaff
    • 16.4. Sistemas característicos
    • 16.5. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de primer orden. Sistemas característicos
  • 17. Introducción a la integración en variedades
    • 17.1. Cadenas y bordes
    • 17.2. Integración para cadenas
    • 17.3. Teorema de Stokes
    • 17.4. Invariantes integrales
    • 17.5. Foliación característica de una p-forma
  • 18. Variedades simplemente conexas y contráctiles
    • 18.1. Homotopía
    • 18.2. Grupo fundamental
    • 18.3. Variedades simplemente conexas
    • 18.4. Variedades contráctiles
  • 19. Variedades simplécticas
    • 19.1. Terema de Darboux
    • 19.2. Variedades presimplécticas y simplécticas
    • 19.3. Transformaciones canónicas
  • 20. Grupos de transformaciones
    • 20.1. Grupos discretos y grupos estacionarios
    • 20.2. Variedades difemorías a toros
    • 20.3. Grupos discontinuos de transformaciones
  • 21. Grupos topológicos
    • 21.1. Grupos topológicos
    • 21.2. Subgrupos de un grupo topológico
  • 22. Grupos de Lie
    • 22.1. Definición y propiedades inmediatas
    • 22.2. Propiedades topológicas de los grupos de Lie
    • 22.3. Subgrupos de Lie
    • 22.4. Ejemplos de grupos de Lie
    • 22.5. Grupos de Lie con representación compleja
  • 23. Álgebras de Lie de grupos de Lie
    • 23.1. Campos invariantes por traslaciones. Constantes de estructura
    • 23.2. Foliaciones inducidas por subálgebras de Lie
    • 23.3. Ejemplos de álgebras de Lie
    • 23.4. Álgebra de Lie de grupos complejos
  • 24. Aplicación exponencial en grupos de Lie
    • 24.1. Conexión lineal y spray de un grupo de Lie
    • 24.2. Aplicación exponencial y subgrupos uniparamétricos
    • 24.3. Aplicación exponencial en subgrupos de Lie
    • 24.4. Cartas especiales en grupos de Lie
  • 25. Exponentes matriciales
    • 25.1. Fórmulas de Taylor
    • 25.2. Aplicación exponencial para matrices
    • 25.3. Matrices funcionales
  • 26. Subgrupos cerrados de grupos de Lie
    • 26.1. Subgrupos de Lie cerrados y conexos
    • 26.2. Subgrupos cerrados
    • 26.3. Espacios homogéneos
  • 27. Acciones de grupos de Lie
    • 27.1. Grupos y subgrupos de Lie de transformaciones o acciones
    • 27.2. Álgebra de Lie de campos vectoriales
    • 27.3. Campos de Killing o fundamentales
    • 27.4. Representaciones adjunta y coadjunta
    • 27.5. Corchetes de Lie en grupos de Lie contenidos en R.
  • 28. Estabilizadores y órbitas de grupos
    • 28.1. Subgrupos de isotropía o estabilizadores
    • 28.2. Teorema fundamental
    • 28.3. Propiedades de las órbitas de un grupo
  • 29. Espacios homogéneos
    • 29.1. Consecuencias del Teorema fundamental
    • 29.2. Ejemplos de espacios homogéneos
    • 29.3. Variedad de Grassmann
    • 29.4. Variedades de Stiefel
    • 29.5. Las variedades de Grassmann y de Stiefel como espacios homogéneos
  • 30. Momentos de grupos dinámicos
    • 30.1. Grupos dinámicos. Aplicación momento
    • 30.2. Teoremas de existencia de momentos
    • 30.3. Teorema de Noether
  • 31. Cohomología simpléctica
    • 31.1. Cohomología de grupos y de álgebras de Lie
    • 31.2. Relación entre cohomología de un grupo de Lie y la cohomología de su álgebra de Lie
    • 31.3. Introducción a la cohomología (simpléctica) de grupos dinámicos
  • 32. Variedades simplécticas difinidas por grupos de Lie
    • 32.1. Corchetes de Poisson
    • 32.2. Definición de cohomología simpléctica
    • 32.3. Variedades simplécticas en la coálgebra
    • 32.4. Simplectomorfismos entre variedades simplécticas
  • 33. Estudio del grupo de Galileo
    • 33.1. Grupo de Galileo. Propiedades
    • 33.2. Álgebra de Lie del grupo de Galileo
    • 33.3. Cohomología simpléctica del grupo de Galileo
  • 34. Descomposición de Cartan
    • 34.1. Logaritmo de matrices
    • 34.2. Descomposición de Cartan
    • 34.3. Estudio del grupo ortogonal
    • 34.4 Propiedades algebraicas y topológicas del grupo simpléctico
  • 35. Grupos relativistas
    • 35.1. Grupo de Lorentz
    • 35.2. Grupo de Poincaré. Algebra de Lie
    • 35.3. Cohomología simpléctica del grupo de Poincaré
  • Bibliografía
  • Índice analítico

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