El contenido de este libro corresponde a la asignatura del mismo nombre de la licenciatura de Matemáticas. La obra se estructura en 5 capítulos: 1) Construcción de los números reales. 2) Funciones elementales y sus primitivas. 3) Derivación e integral de Lebesgue. 4) Funciones convexas. 5) Técnicas de cálculo de integrales. Concluye con un extenso apéndice sobre números reales y cuerpos no arquimedianos.
- Cover
- Índice general
- Prólogo
- Construcción de los números reales
- Introducción
- Sucesiones en cuerpos totalmente ordenados
- Construcción de R a partir de Q
- Principios de continuidad
- Sucesiones y subsucesiones en R
- Intervalos y topología del orden
- Breve idea de la construcción de Dedekind
- Bibliografía citada
- Funciones elementales y sus primitivas
- Introducción
- Funciones exponencial y logarítmica
- Funciones trigonométricas
- El arco tangente y demás funciones trigonométricas
- El arco seno y demás funciones trigonométricas
- Primitivas elementales de funciones elementales
- Cuerpos diferenciales
- Teorema de Liouville
- Teoremas de Risch
- Algoritmos de integración simbólica
- Funciones racionales
- Extensiones elementales trascendentes
- Extensiones algebraicas
- El algoritmo de Risch-Norman
- Extensiones no elementales
- ¿Mejor cálculo simbólico o cálculo numérico?
- Ejercicios
- Lecturas (extras)
- Sobre la integración en Maple
- Funciones elementales y funciones meromorfas
- Notas sobre la evolución del cálculo de primitivas
- Bibliografía citada
- Derivación e integral de Lebesgue
- Introducción
- Consideraciones previas
- Medibilidad y continuidad
- Propiedades de las funciones derivadas
- Primer teorema fundamental del cálculo
- Teoremas de cubrimiento
- Desigualdad maximal
- Primer teorema fundamental del cálculo
- Segundo teorema fundamental del cálculo
- Apéndice: Funciones de distribución
- Ejercicios
- Bibliografia citada
- Funciones convexas
- Introducción
- Convexidad
- Funciones convexas de una variable.
- Acotación y continuidad
- Derivabilidad y comportamiento de la derivada
- Operaciones con funciones convexas
- Convexidad y optimización
- Convexidad y desigualdades
- Desigualdades discretas
- Desigualdades integrales
- Convexidad y la función
- Ejercicios
- Bibliografia citada
- Técnicas de cálculo de integrales
- Introducción
- Coordenadas polares en Rn
- Planteamiento
- Aplicación al cálculo de integrales
- Equivalencia de Stirling
- ``A Proof that Euler Missed''
- Integrales y series
- Límites e integrales (impropias) reiteradas
- ``Simetrías'' y otras ``invariancias''
- Bibliografía citada
- Números reales y cuerpos no arquimedianos
- Los números reales y sus laberintos
- ¿Qué es y qué ha sido un número real?
- El continuo y sus interrogantes
- Algunos cuerpos no arquimedianos
- Hiperreales *R (reales no estándar)
- Más infinitésimos e infinitos
- No (números surreales)
- Referencias complementarias
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