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Un curso de geometría diferencial

Un curso de geometría diferencial

Teoría, problemas, soluciones y prácticas con ordenador

  • Author: Pastor González, José Antonio; Hernández Cifre, María Ángeles
  • Publisher: CSIC
  • Serie: Estudios sobre la Ciencia
  • ISBN: 9788400091545
  • eISBN Pdf: 9788400091552
  • Place of publication:  Madrid , Spain
  • Year of publication: 2010
  • Pages: 378

La Geometría Diferencial es una disciplina presente en el núcleo central de todos los estudios de Matemáticas, así como una herramienta básica en el desarrollo de otras ciencias, como Física, Biología, Arquitectura e Ingeniería; asimismo, está íntimamente ligada a los estudios de Cartografía y Geodesia para la representación geométrica de la Tierra. En este libro se presenta Un curso de Geometría Diferencial sobre curvas y superficies, enfocado a satisfacer las necesidades de los estudiantes, tanto de grado como de máster, que requieren de esta disciplina para consolidar su formación. Conscientes de que para el estudio de la Geometría Diferencial son necesarios conocimientos previos y un cierto grado de madurez científica, los autores han elaborado un texto con una clara pretensión didáctica, empleando un lenguaje directo y sencillo, con el desarrollo de demostraciones detalladas y, finalmente, con una exhaustiva relación de problemas (incluyendo la resolución de éstos y el uso de un software específico). Se ha procurado, asimismo, abarcar los contenidos habituales en los cursos de Geometría Diferencial, sin olvidar aquellos otros temas directamente vinculados con ella. El estudiante y el especialista en la materia tienen así en estas páginas una buena herramienta para el aprendizaje y el análisis de esta singular rama de las Matemáticas, verdadero puente que comunica y relaciona disciplinas como la Topología, el Álgebra y el Análisis.

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  • Sumario
  • Prólogo
  • Introducción
  • Terminología básica
  • I. Curvas en el plano y en el espacio
    • 1.1 Curvas parametrizadas. La longitud de arco
      • 1.1.1 El cambio de paámetro y la longitud de arco
    • 1.2 Teoría local de curvas planas
      • 1.2.1 La curvatura y el diedro de Frenet
      • 1.2.2 Teorema fundamental de la Teoría Local de curvas planas
      • 1.2.3 Evolutas, Involutas y curvas paralelas
      • 1.2.4 Comparación de dos curvas en un punto
    • 1.3 Teoría local de curvas en el espacio
      • 1.3.1 La curvatura, la torsión y el triedro de Frenet
      • 1.3.2 Teorema fundamental de la Teoría Local de curvas en el espacio
    • 1.4 Teoría global de curvas planas
      • 1.4.1 Curvas convexas
      • 1.4.2 La desigualdad isoperimétrica
    • Ejercicios
  • II. Las superficies regulares
    • 2.1 Definición de superficie
      • 2.1.1 Criterios prácticos para la determinación de superficies
      • 2.1.2 Propiedades de las superficies regulares
      • 2.1.3 El cambio de coordenadas
    • 2.2 Funciones diferenciables definidas en superficies
      • 2.2.1 Aplicaciones diferenciables definidas entre superficies
      • 2.2.2. Difeomorfismos entre superficies
    • 2.3 El plano tangente
    • 2.4 La diferencial de una aplicación entre superficies
      • 2.4.1. La diferencial de una función real sobre una superficie
      • 2.4.2. La diferencial de una aplicación entre superficies
    • 2.5 La primera forma fundamental
      • 2.5.1. Aplicaciones de la primera forma fundamental: midiendo longitudes, ángulos y áreas
    • Ejercicios
  • III. El teorema Egregium de Gauss
    • 3.1 Orientación de superficies
      • 3.1.1 Otra forma de estudiar la orientabilidad
      • 3.1.2 La estructura compleja de una superficie
      • 3.1.3 Bases positivas y negativas
      • 3.1.4 Sobre la orientabilidad en este texto
    • 3.2 La segunda forma fundamental
    • 3.3 La aceleración de una curva: curvaturas geodésica y normal
      • 3.3.1 La curvatura geodésica
      • 3.3.2 La curvatura normal
      • 3.3.3 Interpretación geométrica de la curvatura normal
    • 3.4 Las curvaturas principales
      • 3.4.1. Puntos umbilicales
    • 3.5 Expresión local de la segunda forma fundamental, la curvatura d Gauss y la curvatura media
    • 3.6 La geometría de la curvatura de Gauss
    • 3.7 Isometrías locales
    • 3.8 El teorema Egregium de Gauss
      • 3.8.1 Las fórmulas de Gauss u de Weingarten
      • 3.8.2 Ecuaciones de compatibilidad. Teorema Egregium de Gauss
    • 3.9 Aplicaciones conformes e isoareales. Cartografía
    • Ejercicios
  • IV. Integración en superficies. Las superficies minimales
    • 4.1 Una aproximación intuitiva al concepto de área
    • 4.2 Integración de funciones
    • 4.3 Las superficies minimales: un poco de historia
    • 4.4 Las distintas definiciones de superficie minimal
      • 4.4.1 Las superficies minimales como puntos críticos del área
      • 4.4.2 La ecuación de Euler-Lagrange. La aplicación de Gauss de una superficie minimal
      • 4.4.3 Parametrizaciones isotermas en superficies minimales
    • 4.5 Los primeros ejemplos de superficies minimales
    • Ejercicios
  • V. Geodésicas en superficies
    • 5.1. La derivada covariante y el transporte paralelo
      • 5.1.1 Campos de vectores paralelos
      • 5.1.2 El transporte paralelo
    • 5.2. Geodésicas
      • 5.2.1 Existencia y unicidad de geodésicas en una superficie
      • 5.2.2 La curvatura geodésica
    • 5.3 La aplicación exponencial
      • 5.3.1 El lema de Gauss
      • 5.3.2 Las coordenadas normales
      • 5.3.3 Las coordenadas geodésicas polares
    • Ejercicios
  • VI. El teorema de Gauss-Bonnet
    • 6.1 El teorema de Gauss-Bonnet (versión local)
      • 6.1.1 El ángulo de rotación de una curva plana
      • 6.1.2 Holonomía
      • 6.1.3 La curvatura geodésica en una parametrización ortogonal
      • 6.1.4 El teorema de Green en R2
      • 6.1.5 El teorema de Gauss-Bonnet (versión local)
    • 6.2 El teorema de Gauss-Bonnet (versión global)
      • 6.2.1. Triangulaciones. La característica de Euler-Poincaré
      • 6.2.2 El teorema de Gauss-Bonnet (versión global)
    • 6.3 Consecuencias del teorema de Gauss-Bonnet
      • 6.3.1 Una aplicación a la Geometría clásica
    • Ejercicios
  • VII. Geometría Diferencial Global
    • 7.1 Las fórmulas de variación
      • 7.1.1. La primera fórmula de variación para la longitud de arco
      • 7.1.2 La segunda fórmula de variación para la longitud de arco
    • 7.2 Completitud. El teorema de Hopf-Rinow
      • 7.2.1 Distancia intrínseca en una superficie
      • 7.2.2 El teorema de Hopt-Rinow
      • 7.2.3 El teorema de Bonnet
    • 7.3 El teorema de rigidez de la esfera
    • Ejercicios
  • Prácticas con Mathematica
    • Apéndice A. Curvas. Prácticas con Mathematica
      • A.1. Geometría diferencial de curvas planas
        • A.1.1 La curvatura de una curva plana y la longitud de arco
        • A.1.2 Representación gráfica de curvas
        • A.1.3 Algunos ejemplos de curvas planas clásicas
        • A.1.4 Gráficas de funciones definidas a trozos
        • A.1.5 Generación dinámica de algunas curvas
        • A.1.6 Evolutas y curvas paralelas
      • A.2. Geometría diferencial de curvas en el espacio
        • A.2.1 Representación gráfica de curvas alabeadas
        • A.2.2 El triedro de Frenet, la curvatura y la torsión
    • Apéndice B. Superficies. Prácticas con Mathematica
      • B.1. Ejemplos de superficies
        • B.1.1 Superficies de revolución
        • B.1.2 Superficies no orientables
        • B.1.3 Superficies minimales
      • B.2. La curvatura de Gauss y la curvatura media
      • B.3. Geodésicas
    • Apéndice C. Soluciones a los ejercicios
      • Soluciones a los ejercicios del capítulo I
      • Soluciones a los ejercicios del capítulo II
      • Soluciones a los ejercicios del capítulo III
      • Soluciones a los ejercicios del capítulo IV
      • Soluciones a los ejercicios del capítulo V
      • Soluciones a los ejercicios del capítulo VI
      • Soluciones a los ejercicios del capítulo VII
  • Bibliografía
  • Índice terminológico
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