Manual de matemáticas para preparación olímpica

Manual de matemáticas para preparación olímpica

  • Author: Ripollés Amela, Manuel
  • Publisher: Universitat Jaume I
  • Serie: UNiversitas
  • ISBN: 9788480213196
  • Place of publication:  Castelló de la Plana , Spain
  • Year of publication: 2000
  • Pages: 366

Cuestiones como la divisibilidad, y nociones elementales de teoría de números, ecuaciones diofánticas, congruencias y geometría métrica... se recogen en esta esperada obra, valiosa especialmente por la originalidad de los problemas propuestos y la presentación teórica de cada capítulo que incluye problemas resueltos de fácil comprensión. Será de gran utilidad para alumnos y profesores de cara a la preparación de las diferentes pruebas y concursos de matemáticas, así también como para todas aquellas personas aficionadas a la resolución de problemas.

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  • Índice
  • Prólogo
  • Introducción
  • I. Número natural. Métodos de inducción. Sistemas de numeración
    • Método de inducción matemática
    • División exacta
    • División entera
    • Sistemas de numeración
    • Cambio de base
    • Numeración con cifras mínimas (positivas y negativas)
    • Extensión a números racionales
    • Complemento aritmético
  • II. Divisibilidad
    • Divisiones y múltiplos comunes
    • Números primos y compuestos
    • Fórmulas para obtener números primos
    • Divisibilidad por descomposición factorial
    • Obtención de todos los divisores del número
    • Descomposición polinómica
    • Descomposición de factoriales en factores primos
    • Divisibilidad de factoriales
  • III. Congruencias. Restos potenciales. Criterios de divisibilidad
    • Operaciones con congruencias
    • Sistemas de números incongruentes
    • Teorema de Euler-Fermat
    • Teorema pequeño de Fermat
    • Indicador de número m
    • Congruencia de Euler
    • Números asociados respecto al módulo m
    • Teorema de Wilson
    • Ecuaciones polinómicas módulo p (primo)
    • Teorema de Lagrange
    • Teorema del resto chino
    • Restos potenciales de n respecto al módulo m
    • Raíces primitivas
    • Criterios prácticos de divisibilidad
    • Prueba de operaciones aritméticas
  • IV. Grupos finitos. Clases de restos. Cuadrados latinos y mágicos
    • Estucturas algebráicas
    • Propiedades de las operaciones
    • Elementos notables
    • Operación compatible con una relación de equivalencia
    • Ley de composición cociente
    • Tablas de la suma y el producto en Z/m
    • Estructura algebráica
    • Homomorformismos
    • Grupos
    • Propiedades del grupo
    • Subgrupos
    • Teorema de caracterización
    • Subgrupo intersección y subgrupo engendrado
    • Grupos de tipo finito y grupos monógenos
    • Clases adjuntas a un subgrupo. Subgrupos normales o invariantes
    • Grupos de sustituciones
    • Grupos finitos
    • Orden de un subgrupo, teorema de Lagrange
    • Grupos cíclicos
    • Anillos
    • Cuerpos
    • Características de un cuerpo
    • Cuadrados latinos
  • V. Ecuaciones diofánticas
    • Teorema de Bézout
    • Teorema de existencia
    • Soluciones particulares y solución general de ecuaciones lineales homogéneas
    • Solución de ecuaciones no homogenéas
    • Métodos del algoritmo de Euclides y el de Cumulantes
    • Cumulantes
    • Soluciones enteras naturales. Procedimiento de «reparto en cascada»
    • Sistemas de ecuaciones lineales
    • Resolución de sistemas lineales diofánticos
    • Teorema de existencia de soluciones enteras en sistemas lineales
    • Ecuaciones diofánticas no lineales
    • Ecuación pitagórica
    • Método habitual para ecuaciones diofánticas homogéneas de segundo grado
    • Triángulo de lados enteros
    • Ecuación de Fermat
    • Ecuaciones no homogéneas de segundo grado. Ecuación de Pell
    • Algoritmo de fracciones continuas
    • Ecuaciones de congruencias
  • VI. Progresiones
    • Progresiones aritméticas ordinarias
    • Progresiones geométricas ordinarias
    • Progresiones hipergeométricas
    • Convergencia de series geométricas, hipergeométricas y telescópicas
    • Algoritmo de sumas sucesivas
    • Algoritmo de diferencias sucesivas
    • Método de coeficientes indeterminados para el cálculo de un y sn
    • Sucesiones de potencias nk
    • Metodo constructivo para el calculo de a„y sn
  • VII. Sucesiones recurrentes
    • Suma de n términos en sucesiones recurrentes
    • Fórmula del término general y de la suma de n términos
  • VIII. Polinomios y ecuaciones polinómicas
    • Polinomios reales y complejos
    • Método de los coeficientes indeterminados
    • División en línea y división sintética
    • Relaciones de Cardano-Vieta
    • Máximo común divisor de polinomios
    • Teorema de Bézout
    • Teorema fundamental del álgebra
    • Anulación del segundo coeficiente por traslación del origen
    • Resolución de ecuaciones polinómicas mediante radicales
    • Polinomios con coeficientes reales
    • Estimación de cotas entre las que oscilan los ceros reales de un polinomio
    • Teorema de Bolzano
    • Ecuaciones reducibles a cuadráticas
    • Ecuaciones recíprocas o simétricas
    • Aplicaciones
  • IX. Combinatoria
    • Variaciones
    • Variaciones con repetición
    • Permutaciones
    • Permutaciones circulares
    • Inversión y paridad de una permutación
    • Permutaciones con repetición
    • Combinaciones
    • Combinaciones con repetición
    • Números combinatorios
    • Relaciones entre números combinatorios
    • Triángulo de Pascal
    • Triángulo de Tartaglia
    • Productos de binomios
    • Potencia de un binomio
    • Potencia de un polinomio
    • Sumas de potencias de números naturales
    • Binomio de Vandermonde
    • Sustitución entre n elementos
    • Sustituciones conmutables
    • Sustituciones circulares. Ciclos
    • Descomposición en ciclos
    • Descomposición en transposiciones
    • Potencias de una sustitución
    • Grupos y subgrupos de sustituciones. Grupo simétrico. Grupo alternado. Grupo cíclico
    • Teorema fundamental (Lagrange)
    • Tríadas de Steiner
    • La regla aditiva
    • La regla multiplicativa
    • El principio de Dirichlet o del palomar
    • Elegir un modelo
  • X. Desigualdades
    • Desigualdades clásicas
    • Desigualdades geométricas
    • Desigualdades con los lados
    • Desigualdades con los ángulos
  • XI. Números complejos
    • Definición
    • Interpretación geométrica. Módulo y argumento de un número complejo
    • Razones trigonométricas de ángulos múltiples
    • Raíces n-ésimas de un número complejo
    • Raíces primitivas de la unidad. Polinomios ciclotómicos
    • Exponencial compleja. Fórmula de Euler
    • Complejos y geometría
    • Polígonos regulares y números complejos
  • XII. Construcciones elementales con regla y compás
    • Aritmética con regla y compás
    • Media proporcional
    • Resolución gráfica de la ecuación de segundo grado
    • Mediatriz, bisectriz y tangente por un punto a una circunferencia
    • Tangentes comunes a dos circunferencias
    • Sección áurea de un segmento
  • XIII. Ángulos en la circunferencia
    • Ángulo inscrito
    • Ángulo seminscrito
    • Ángulo exterior
    • Ángulo interior
    • Cuadrilátero inscriptible
    • Cuadrilátero circunscriptible
    • Polígonos regulares
    • Relaciones métricas en cualquier polígono regular
    • Teorema de Tolomeo
  • XIV. Puntos notables en el triángulo y primeras relaciones métricas
    • Mediatrices. Circuncentro
    • Alturas. Ortocentro
    • Bisectrices: incentro
    • Exincentros
    • Triángulo órtico
    • Mediana. Baricentro
    • Recta de Euler
    • Recta de Simson
    • Cuadrado de un lado de un triángulo
    • Suma y diferencia de los cuadrados de dos lados de un triángulo
    • Teorema de Stewart
    • Teorema de Ceva
  • XV. Relaciones métricas en la circunferencia
    • Potencia de un punto respecto de una circunferencia
    • Eje radical de dos circunferencias
    • Construcción del eje radical
    • Centro radical de tres circunferencias
    • Circunferencias ortogonales
    • Haz de circunferencias
    • Haces ortogonales
  • XVI. Relaciones métricas en el triángulo
    • La circunferencia de los nueve puntos
    • Propiedad métrica de las bisectrices
    • Cálculo de las bisectrices
    • Segmentos determinados en los lados por las circunferencias inscrita y exinscrita
    • Radios de las circunferencias inscrita y exinscrita
    • Cálculo de las medianas
    • Cálculo de las alturas y del área
    • Radio de la circunferencia circunscrita
    • Teorema de Euler
    • Teorema de Morley
    • Teorema de Napoleón
  • XVII. Los movimientos en el plano
    • Puntos y elementos dobles
    • Translaciones
    • Giros
    • Simetría central
    • Simetría axial
    • Producto de movimientos
    • Producto de translaciones
    • Producto de giros del mismo centro
    • Producto de dos simetrías axiales
    • Producto de dos giros de diferentes centros
    • Producto de translación por giro
    • Movimientos directos e inversos
    • Reflexión-deslizamiento
    • Congruencia
    • Problema de Fagnano
    • Problema de Fermat
  • XVIII. La homotecia y la semejanza
    • Homotecia
    • Ecuaciones de la homotecia
    • Semejanzas
    • Determinación de las semejanzas
    • Centro de semejanza directa
    • Producto de homotecias de distinto centro
    • Homotecia entre dos circunferencias
    • Eje de homotecia de tres circunferencias
    • Nueva propiedad de la circunferencia de los nueve puntos
  • XIX. La inversión en el plano
    • Puntos dobles
    • Construcción geométrica del inverso de un punto
    • Elementos dobles
    • Ecuaciones de la inversión
    • Figura inversa de una recta
    • Inversa de una circunferencia que no pasa por el polo
    • Rectas isogonales a dos circunferencias
    • Conservación de ángulos en la inversión
    • Aplicaciones de la inversión
    • Haces coaxiales de circunferencias
    • Porisma de Steiner
    • Teorema de Feuerbach
  • XX. Lugares geométricos
    • Método paramétrico
    • Método de tranformaciones geométricas
    • Método analítico directo
    • Reducción a otro problema conocido
  • Problemas fase de distrito
  • Problemas de fases nacionales e internacionales

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