Manual de matemáticas para preparación olímpica

Author: Ripollés Amela, Manuel
Publisher: Universitat Jaume I
Serie: UNiversitas
ISBN: 9788480213196
Place of publication: Castelló de la Plana , Spain
Year of publication: 2000
Pages: 366

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Cuestiones como la divisibilidad, y nociones elementales de teoría de números, ecuaciones diofánticas, congruencias y geometría métrica... se recogen en esta esperada obra, valiosa especialmente por la originalidad de los problemas propuestos y la presentación teórica de cada capítulo que incluye problemas resueltos de fácil comprensión. Será de gran utilidad para alumnos y profesores de cara a la preparación de las diferentes pruebas y concursos de matemáticas, así también como para todas aquellas personas aficionadas a la resolución de problemas.

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Índice
Prólogo
Introducción
I. Número natural. Métodos de inducción. Sistemas de numeración
- Método de inducción matemática
- División exacta
- División entera
- Sistemas de numeración
- Cambio de base
- Numeración con cifras mínimas (positivas y negativas)
- Extensión a números racionales
- Complemento aritmético
II. Divisibilidad
- Divisiones y múltiplos comunes
- Números primos y compuestos
- Fórmulas para obtener números primos
- Divisibilidad por descomposición factorial
- Obtención de todos los divisores del número
- Descomposición polinómica
- Descomposición de factoriales en factores primos
- Divisibilidad de factoriales
III. Congruencias. Restos potenciales. Criterios de divisibilidad
- Operaciones con congruencias
- Sistemas de números incongruentes
- Teorema de Euler-Fermat
- Teorema pequeño de Fermat
- Indicador de número m
- Congruencia de Euler
- Números asociados respecto al módulo m
- Teorema de Wilson
- Ecuaciones polinómicas módulo p (primo)
- Teorema de Lagrange
- Teorema del resto chino
- Restos potenciales de n respecto al módulo m
- Raíces primitivas
- Criterios prácticos de divisibilidad
- Prueba de operaciones aritméticas
IV. Grupos finitos. Clases de restos. Cuadrados latinos y mágicos
- Estucturas algebráicas
- Propiedades de las operaciones
- Elementos notables
- Operación compatible con una relación de equivalencia
- Ley de composición cociente
- Tablas de la suma y el producto en Z/m
- Estructura algebráica
- Homomorformismos
- Grupos
- Propiedades del grupo
- Subgrupos
- Teorema de caracterización
- Subgrupo intersección y subgrupo engendrado
- Grupos de tipo finito y grupos monógenos
- Clases adjuntas a un subgrupo. Subgrupos normales o invariantes
- Grupos de sustituciones
- Grupos finitos
- Orden de un subgrupo, teorema de Lagrange
- Grupos cíclicos
- Anillos
- Cuerpos
- Características de un cuerpo
- Cuadrados latinos
V. Ecuaciones diofánticas
- Teorema de Bézout
- Teorema de existencia
- Soluciones particulares y solución general de ecuaciones lineales homogéneas
- Solución de ecuaciones no homogenéas
- Métodos del algoritmo de Euclides y el de Cumulantes
- Cumulantes
- Soluciones enteras naturales. Procedimiento de «reparto en cascada»
- Sistemas de ecuaciones lineales
- Resolución de sistemas lineales diofánticos
- Teorema de existencia de soluciones enteras en sistemas lineales
- Ecuaciones diofánticas no lineales
- Ecuación pitagórica
- Método habitual para ecuaciones diofánticas homogéneas de segundo grado
- Triángulo de lados enteros
- Ecuación de Fermat
- Ecuaciones no homogéneas de segundo grado. Ecuación de Pell
- Algoritmo de fracciones continuas
- Ecuaciones de congruencias
VI. Progresiones
- Progresiones aritméticas ordinarias
- Progresiones geométricas ordinarias
- Progresiones hipergeométricas
- Convergencia de series geométricas, hipergeométricas y telescópicas
- Algoritmo de sumas sucesivas
- Algoritmo de diferencias sucesivas
- Método de coeficientes indeterminados para el cálculo de un y sn
- Sucesiones de potencias nk
- Metodo constructivo para el calculo de a„y sn
VII. Sucesiones recurrentes
- Suma de n términos en sucesiones recurrentes
- Fórmula del término general y de la suma de n términos
VIII. Polinomios y ecuaciones polinómicas
- Polinomios reales y complejos
- Método de los coeficientes indeterminados
- División en línea y división sintética
- Relaciones de Cardano-Vieta
- Máximo común divisor de polinomios
- Teorema de Bézout
- Teorema fundamental del álgebra
- Anulación del segundo coeficiente por traslación del origen
- Resolución de ecuaciones polinómicas mediante radicales
- Polinomios con coeficientes reales
- Estimación de cotas entre las que oscilan los ceros reales de un polinomio
- Teorema de Bolzano
- Ecuaciones reducibles a cuadráticas
- Ecuaciones recíprocas o simétricas
- Aplicaciones
IX. Combinatoria
- Variaciones
- Variaciones con repetición
- Permutaciones
- Permutaciones circulares
- Inversión y paridad de una permutación
- Permutaciones con repetición
- Combinaciones
- Combinaciones con repetición
- Números combinatorios
- Relaciones entre números combinatorios
- Triángulo de Pascal
- Triángulo de Tartaglia
- Productos de binomios
- Potencia de un binomio
- Potencia de un polinomio
- Sumas de potencias de números naturales
- Binomio de Vandermonde
- Sustitución entre n elementos
- Sustituciones conmutables
- Sustituciones circulares. Ciclos
- Descomposición en ciclos
- Descomposición en transposiciones
- Potencias de una sustitución
- Grupos y subgrupos de sustituciones. Grupo simétrico. Grupo alternado. Grupo cíclico
- Teorema fundamental (Lagrange)
- Tríadas de Steiner
- La regla aditiva
- La regla multiplicativa
- El principio de Dirichlet o del palomar
- Elegir un modelo
X. Desigualdades
- Desigualdades clásicas
- Desigualdades geométricas
- Desigualdades con los lados
- Desigualdades con los ángulos
XI. Números complejos
- Definición
- Interpretación geométrica. Módulo y argumento de un número complejo
- Razones trigonométricas de ángulos múltiples
- Raíces n-ésimas de un número complejo
- Raíces primitivas de la unidad. Polinomios ciclotómicos
- Exponencial compleja. Fórmula de Euler
- Complejos y geometría
- Polígonos regulares y números complejos
XII. Construcciones elementales con regla y compás
- Aritmética con regla y compás
- Media proporcional
- Resolución gráfica de la ecuación de segundo grado
- Mediatriz, bisectriz y tangente por un punto a una circunferencia
- Tangentes comunes a dos circunferencias
- Sección áurea de un segmento
XIII. Ángulos en la circunferencia
- Ángulo inscrito
- Ángulo seminscrito
- Ángulo exterior
- Ángulo interior
- Cuadrilátero inscriptible
- Cuadrilátero circunscriptible
- Polígonos regulares
- Relaciones métricas en cualquier polígono regular
- Teorema de Tolomeo
XIV. Puntos notables en el triángulo y primeras relaciones métricas
- Mediatrices. Circuncentro
- Alturas. Ortocentro
- Bisectrices: incentro
- Exincentros
- Triángulo órtico
- Mediana. Baricentro
- Recta de Euler
- Recta de Simson
- Cuadrado de un lado de un triángulo
- Suma y diferencia de los cuadrados de dos lados de un triángulo
- Teorema de Stewart
- Teorema de Ceva
XV. Relaciones métricas en la circunferencia
- Potencia de un punto respecto de una circunferencia
- Eje radical de dos circunferencias
- Construcción del eje radical
- Centro radical de tres circunferencias
- Circunferencias ortogonales
- Haz de circunferencias
- Haces ortogonales
XVI. Relaciones métricas en el triángulo
- La circunferencia de los nueve puntos
- Propiedad métrica de las bisectrices
- Cálculo de las bisectrices
- Segmentos determinados en los lados por las circunferencias inscrita y exinscrita
- Radios de las circunferencias inscrita y exinscrita
- Cálculo de las medianas
- Cálculo de las alturas y del área
- Radio de la circunferencia circunscrita
- Teorema de Euler
- Teorema de Morley
- Teorema de Napoleón
XVII. Los movimientos en el plano
- Puntos y elementos dobles
- Translaciones
- Giros
- Simetría central
- Simetría axial
- Producto de movimientos
- Producto de translaciones
- Producto de giros del mismo centro
- Producto de dos simetrías axiales
- Producto de dos giros de diferentes centros
- Producto de translación por giro
- Movimientos directos e inversos
- Reflexión-deslizamiento
- Congruencia
- Problema de Fagnano
- Problema de Fermat
XVIII. La homotecia y la semejanza
- Homotecia
- Ecuaciones de la homotecia
- Semejanzas
- Determinación de las semejanzas
- Centro de semejanza directa
- Producto de homotecias de distinto centro
- Homotecia entre dos circunferencias
- Eje de homotecia de tres circunferencias
- Nueva propiedad de la circunferencia de los nueve puntos
XIX. La inversión en el plano
- Puntos dobles
- Construcción geométrica del inverso de un punto
- Elementos dobles
- Ecuaciones de la inversión
- Figura inversa de una recta
- Inversa de una circunferencia que no pasa por el polo
- Rectas isogonales a dos circunferencias
- Conservación de ángulos en la inversión
- Aplicaciones de la inversión
- Haces coaxiales de circunferencias
- Porisma de Steiner
- Teorema de Feuerbach
XX. Lugares geométricos
- Método paramétrico
- Método de tranformaciones geométricas
- Método analítico directo
- Reducción a otro problema conocido
Problemas fase de distrito
Problemas de fases nacionales e internacionales

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