Ha sido preocupación primordial del autor procurar destacar lo que la realidad y el tiempo han situado y mantenido en primer plano de importancia, y establecer la gradación hacia ideas menores, aunque también valiosas. A partir de ahí, y con la reglada división en periodos y subperiodos, se da la sistematización didáctica que requiere estudio tan vasto.
Introducción
I. Perspectiva general
Necesidad de la demostración; aparición de las matemáticas
Necesidad de la abstracción
La historia y la demostración
Cinco corrientes
La escala del tiempo
Siete periodos
Algunas características generales
Motivación de las matemáticas
El remanente de las épocas, 32.
II. La edad del empirismo
La aritmética hasta el año 600 a. C.
Álgebra sin simbolismo
Hacia la geometría y el análisis
La mayor de las pirámides egipcias
La aportación de Babilonia y Egipto
III. Una base firme [Grecia 600 A. C.-300 D. C.]
Las matemáticas y el cálculo
Ex oriente lux
Dos hazañas supremas
Cronología de las matemáticas griegas
El número desde Pitágoras a Diofanto
El método postulacional
Huida de la gazmoñería intelectual
De la geometría a la metafísica
Lugares geométricos de la línea, del plano y del sólido
¿Por el mal camino?
IV. La depresión europea
Las matemáticas europeas de Boecio a santo Tomás de Aquino
Análisis submatemático
V. El rodeo por la India, Arabia y España [400-1300]
Nacimiento parcial del álgebra
La aparición de la trigonometría
Las matemáticas en una encrucijada
VI. Cuatro siglos de transición [1202-1603]
Corrientes opuestas
El final de un álgebra
Un comienzo del álgebra y de la trigonometría
El desarrollo del simbolismo
VII. El comienzo de las matemáticas modernas [1637-1687]
Cinco progresos principales
Anticipaciones
Descartes, Fermat y la geometría analítica
Newton, Leibniz y el cálculo
Versión newtoniana del cálculo
La versión de Leibniz
Rigor; anticipaciones
Aparición de la teoría matemática de probabilidades
El origen de la aritmética moderna
Aparición de la geometría proyectiva sintética
Origen de las modernas matemáticas aplicadas
VIII. Ampliaciones del concepto de número
Cuatro periodos críticos
La aventura pitagórica
La ampliación por inversión y el formalismo
De la manipulación a la interpretación
El programa euclidiano
Pitágoras hasta 1900
IX. Hacia la estructura matemática [1801-1910]
La abstracción y la época reciente
Perspectivas
Del supernaturalismo al naturalismo
La congruencia desde 1801 a 1887
Un periodo de transición
La liberación del álgebra
De los vectores a los tensores
Hacia la estructura matemática
X. La aritmética generalizada
La divisibilidad generalizada
Otros progresos
Lo conseguido hasta 1910
La aportación de las ecuaciones algebraicas
Perspectivas cambiantes, 1870-1920
Las matemáticas y la sociedad
XI. Aparición del análisis estructural
Tres fases del álgebra lineal
El método abstracto
Hacia la estructura en el álgebra
Hacia la abstracción en el análisis y en la geometría
El final de una aritmética
Direcciones nuevas
Retrospección y perspectivas
XII. Los números cardinales y ordinales hasta 1902
Equivalencia y semejanza
El análisis aritmetizado
Existencia y constructibilidad
XIII. De la intuición al rigor absoluto [1700-1900]
Dos decisivos cambios de dirección
Cinco fases
La edad de oro de “nada”
La aportación de Taylor
Cómo aborda el problema un aficionado
El triunfo del formalismo
El remedio de Lagrange
Lo conseguido hasta 1800
Intervalo ridículo
La intuición transformada
Una indicación tomada de la física
La finalidad en 1900
XIV. La aritmética racional después de Fermat
Resultados del análisis diofántico
Las formas aritméticas
La teoría de congruencias
Aplicaciones del análisis
XV. Aportaciones de la geometría
¿Qué es la geometría?
Euclides libre de toda mancha
Una controversia sin sentido
Aportaciones de la geometría proyectiva
Síntesis contra análisis
Métrica proyectiva
De la cartografía a la cosmología
XVI. El impulso de la ciencia
Las matemáticas en la Edad de la Razón
Estímulos sociales posteriores a la muerte de Newton
XVII. De la mecánica a las variables generalizadas
La investigación de los principios del cálculo de variaciones
Las funciones como variables
XVIII. De las aplicaciones a las abstracciones
Un problema central de las matemáticas aplicadas
Las matemáticas y la intuición científica
Periodicidad doble
XIX. Ecuaciones diferenciales y de diferencia
Cinco fases
El reinado del formulismo
Ecuaciones de diferencia
Problemas de existencia y especiales
Comedia simbólica en tres actos
Los sistemas; el problema de Cauchy
Hacia la sistematización
XX. Invariancia
Rasgos generales
La invariancia algebraica
La síntesis mediante los grupos de transformaciones
La codificación de la geometría por la invariancia
Invariancia espacial intrínseca
XXI. Algunas importantes teorías de funciones
Variables reales
Funciones de variable compleja
Funciones algebraicas y automorfas
La persecución de la unidad
Abandono de la intuición
XXII. Por la física al análisis general y la abstracción
Funciones arbitrarias
Contribuciones de la elasticidad
La importancia de las coordenadas
Hacia el análisis funcional
Física clásica, fenómenos hereditarios y linearidad
Funcionalidad generalizada
Análisis general, espacios abstractos
Tres estimaciones
XXIII. Incertidumbre y probabilidad
Prejuicios y errores
La lógica matemática desde Leibniz (1666) a Gödel (1931)
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